Tetthetsfunksjon? - på engelsk density function

[Marteens]

X er en variabel med tetthetsfunksjonen

[tex]f(x) = \left\{ {\text{1/2 hvis 0\leq x\leq 2}\atop\text{0 ellers}}\right.[/tex]

Den kumulative fordelingsfunksjonen F(x) er dermed

[tex]F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x<0\\\frac{1}{2}x,&0\leq x\leq 2\\1,&x>2\end{array}\right.[/tex]

Oppgaven som jeg sliter med;

[tex]Y = X^2+1[/tex]

Finn:
a) Den kumulative fordelingsfunksjonen til
[tex] F(y) = Prob \left{Y \leq x}\right[/tex]

b)Tetthetsfunksjonen f(Y)

c) Var(Y)

d) E(Y)

Noen som har noen tips?

(jeg studerer ikke i Norge, så jeg er litt usikker på min norske terminologi. Jeg har lett meg frem på internett for å prøve å finne de riktige oversettelsene, men bare å si fra hvis dette er umulig å forstå )

[Charlatan]

For å finne [tex]P(Y \leq x)[/tex], må du finne utfallsrommet [tex]\{Y \leq x\}[/tex]. Siden Y er gitt ved X, foreslår jeg at du finner ut hva [tex]Y \leq x[/tex] tilsvarer gitt ved X. Deretter kan du bruke den kumulative fordelingen til å beregne sannsynligheten for denne mengden.

Når du har funnet den kumulative fordelingen til Y, husker du hvordan du finner tetthetsfunksjonen til Y?
(Hint: deriver)

Var(Y) og E(Y) kan du beregne ved hjelp av tetthetsfunksjonen på vanlig måte, og da må du jo beregne E(Y) først.

[fish]

Ang. latex-notasjon. Fordelingsfunksjonen kan du for eksempel skrive slik:

[tex]F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x<0\\\frac{1}{2}x,&0\leq x\leq 2\\1,&x>2\end{array}\right.[/tex]

[Marteens]

Takk for svar. Hvis ikke jeg har regnet helt feil, har jeg funnet at

[tex] F(Y)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x<1\\\frac{1}{2}\sqrt{x-1},&1\leq x\leq 5\\1,&x>5\end{array}\right.[/tex]

og at



[tex]f(y) = \left\{ {\text{ \frac{1}{4\sqrt{x-1}} hvis 1\leq x\leq 5}\atop\text{0 ellers}}\right.[/tex]

så til E(Y) og Var(Y).

Jeg er vandt med
E(X) = [symbol:integral] xf(x) dx
Var(X) = [symbol:integral] x^2 f(x) dx - (E(X))^2

men siden Y=X^2+1, er jeg litt usikker på hvordan jeg gjør dette for E(Y) og Var(Y).

(edit: likningen til Var(x))

[Charlatan]

Det er riktig det. For å finne E(Y) må du jo i dette tilfellet bare beregne
[symbol:integral] y f(y) dy.

Husk at Var(X) = [symbol:integral] (x-u)^2 f(x) dy, der u er forventningsverdien.

[Marteens]

Jeg er fortsatt forvirra.

∫ y f(y) dy = [symbol:integral] [tex] y \frac{1}{2}\sqrt{x-1} dy[/tex]

?

[Charlatan]

Ja, men den x'en i rottegnet skal være en y. Du skrev F(y) = P(Y <= x), men det skal vel også være F(y) = P(Y <= y).