Løs ulikhetene!?

[hule]

Hei!

Sitter med en oppgave her som lydes slik:

La D være området i R^2 som oppfyller : x^2 + y^2 <= 1, x > 0, y > 0 og
0 <= y <= x

Lag en skisse av området og beregn dobbelt integralet I = [symbol:integral] [symbol:integral] (x + y^2)dA ved å inføre polarkoordinater.

Denne delen er ok, men det er den første delen jeg ikke forstår hvordan jeg skal løse denne ulikheten og finne de nødvendige grensene for å kunne løse integralet etter at jeg har konvertert det kartesise integralet om til polarkoordinater.

Kan noen hjelpe meg??

[Vektormannen]

Det hjelper mye å se på hvilke kurver du får når du kun ser på likhetene. Da har du her [tex]x^2 + y^2 = 1[/tex] og [tex]y = x[/tex]. Den første ligningen gir en sirkel med senter i origo og radius 1. Den andre ligningen er linja gjennom origo med radius 1. Ulikhetene x > 0 og y > 0 gir at området er i første kvadrant. Ulikheten [tex]x^2 + y^2 \leq 1[/tex] gir videre at området er innenfor sirkelen med radius 1 og senter i origo. Ulikheten [tex]0 \leq y \leq x[/tex] gir videre at området skal ligge under linja y = x.

For å finne grensene så vet du at radien vil måtte gå fra 0 til 1 (fra origo og ut til sirkelbuen.) Vinkelen må gå fra 0 og opp til vinkelen som linja y = x danner med positiv x-akse. Denne vinkelen finner du ved å ta arctan av stigningstallet til linja.

[hule]

Å ja! da skjønner jeg, viste ikke at man kunne anta at likningen er lik som gjør at vi får y = x som er en 45 graders linje eller pi/4 i radianaer altså går grensen til teta fra 0 til pi/4.

Men hva er det som gir x = y i denne likningen?

Kan man gjøre dette til en generell regel? At man antar at de er like og ikke ulike slik du antok nå?

Tusen takk for hjelpen.

[Vektormannen]

Det er ikke akkurat en antagelse. Altså, hvis det hadde stått 0 < y < x så betyr det at y skal ligge mellom 0 og x. Så alle punkter der y er større enn 0 og y er mindre enn x, skal være med i området. Linja y = x må da bli ytterkanten som avgrenser (men ikke er med i) området, siden dette er akkurat på grensen der x og y er like. Grafisk må y < x bety alle punkter som ligger under denne linja, siden y da vil være mindre enn x. Du kan alltid gjør dette for å finne kurvene som avgrenser områdene det er snakk om. Deretter tolker du ulikhetene og ser om området skal ligge innenfor eller utenfor kurven osv. ([tex]x^2 + y^2 \geq 1[/tex] ville f.eks. betydd alle punkter som ikke ligger innafor sirkelen med radius 1 og senter i origo.)