Vet at dette ikke har noen praktisk betydning overhodet.
men jeg mener at det er mulig å integrere
[tex]I \, = \, \int {{n \choose 2}} dn[/tex]
Men kompisen min mener det ikke er mulig fordi funksjonen ikke er kontinuerlig når n ikke er et heltall.
Dog jeg som er litt frekk skrev over binomialkoeffisienten til [tex]\frac{1}{2}(n-1)n[/tex] som åpenbart er deriverbar. Hvem har rett?
Jeg sier ikke at integralet har noen praktisk funksjon, bare at det er mulig å integrere.
Integral av binomialkoeffisient
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Det kommer litt an på hvordan du vil definere ting. Om du tenker på [tex]f(n)= {n \choose 2}[/tex] som en funksjon fra heltallene til heltallene må du definere akkurat hva integralet egentlig vil si her. (Du kan jo ikke bruke ting av typen 'ta en trappesum og la trappetrinnene bli mindre og mindre' her, for i heltallene kan ikke trappetrinnene bli så små du vil.)
Om du tenker på det som en funksjon fra de (positive) reelle tall til reelle tall har du to muligheter. Du kan si at [tex]f(x)=f(\lfloor x \rfloor)[/tex] om x ikke er et heltall, og får du jo en funksjon som er konstant på intervallet [tex][n, n+1)[/tex] og så gjør et 'hopp' i [tex]n+1[/tex]. Denne er som kompisen din sier ikke kontinuerlig, men etter de fleste definisjonene av integrerbarhet (selv den intuitive arealet under grafen-'definisjonen') integrerbar. Om du helst skulle hatt en 'penere' funksjon kan du prøve å finne en kontinuerlig/deriverbar/glatt funksjon g som er lik f på heltallene, og ende opp med [tex]\frac 1 2 n(n-1)[/tex] som også vil være integrerbar.
Konklusjonen jeg vil fram til er altså at [tex]n \choose 2[/tex] a priori er en funksjon fra heltallene, og der er det ingen opplagt integraldefinisjon. (Om du er interessert i hvordan en kan definere integraler på andre måter eller på andre mengder enn heltallene tror jeg du vil lære mer om målteori, men jeg kan ikke nok om det til å si så mye mer enn det.) Om du vil bruke det 'vanlige' integralet på den må du altså utvide det til en funksjon på de reelle tallene. Dette kan gjøres på flere måter (som gir deg ulike svar), men svaret blir vel at spørsmålet er dårlig formulert - integralet en vanligvis bruker kan kun brukes på funksjoner definert på R (som sagt med mindre du definerer det mer generelt), og funksjonen du har skrevet opp er definert på N. Du må altså enten definere et nytt integral eller en ny funksjon før spørsmålet gir særlig mening.
Om du tenker på det som en funksjon fra de (positive) reelle tall til reelle tall har du to muligheter. Du kan si at [tex]f(x)=f(\lfloor x \rfloor)[/tex] om x ikke er et heltall, og får du jo en funksjon som er konstant på intervallet [tex][n, n+1)[/tex] og så gjør et 'hopp' i [tex]n+1[/tex]. Denne er som kompisen din sier ikke kontinuerlig, men etter de fleste definisjonene av integrerbarhet (selv den intuitive arealet under grafen-'definisjonen') integrerbar. Om du helst skulle hatt en 'penere' funksjon kan du prøve å finne en kontinuerlig/deriverbar/glatt funksjon g som er lik f på heltallene, og ende opp med [tex]\frac 1 2 n(n-1)[/tex] som også vil være integrerbar.
Konklusjonen jeg vil fram til er altså at [tex]n \choose 2[/tex] a priori er en funksjon fra heltallene, og der er det ingen opplagt integraldefinisjon. (Om du er interessert i hvordan en kan definere integraler på andre måter eller på andre mengder enn heltallene tror jeg du vil lære mer om målteori, men jeg kan ikke nok om det til å si så mye mer enn det.) Om du vil bruke det 'vanlige' integralet på den må du altså utvide det til en funksjon på de reelle tallene. Dette kan gjøres på flere måter (som gir deg ulike svar), men svaret blir vel at spørsmålet er dårlig formulert - integralet en vanligvis bruker kan kun brukes på funksjoner definert på R (som sagt med mindre du definerer det mer generelt), og funksjonen du har skrevet opp er definert på N. Du må altså enten definere et nytt integral eller en ny funksjon før spørsmålet gir særlig mening.