Har et par spørsmål angående angående epsilon-delta.
Lurer på om den brukes kun for å sjekke om funksjoner er kontinuerlig? Og er det fordi dette med at for kontinuerlige funksjoner så vil en liten økning i x gi en liten økning i f(x)? Så e-d er rett og slett bare en matematisk beskrivelse av det?
Føler ikke helt det kan stemme, men er det nærmeste jeg kommer en forståelse så langt.
Epsilon-delta spørsmål
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Epsilon-delta argumentasjon brukes veldig mye i matematikk. Har en 200-siders bok liggende her der det er epsilon-delta argumentasjon på annenhver side (i hvert fall i noen av kapitlene). 
Det brukes veldig mye i konsepter og teoremer som bygger på kontinuitet og konvergens.
Du har også en veldig nærliggende bruk som ofte kalles epsilon-N, og det er når man snakker om konvergens. Her er definisjonen av konvergens (fra hukommelsen):
En følge a[sub]n[/sub] konvergerer mot a hvis det for alle [tex]\varepsilon[/tex]>0
eksisterer et naturlig tall N slik at |a[sub]n[/sub] - a|<[tex]\varepsilon[/tex] for alle n> N.
En fin måte å forstå denne definisjonen er å se på følgen
[tex]a_n = \frac{1}{n}[/tex]
som konvergerer mot 0, velge en bestemt [tex]\varepsilon[/tex], f.eks ved å sette den lik 0.0001, og så finne ut hva N blir.
Når det gjelder i bruken for kontinuerlige funksjoner, så er kontinuitet veldig løst definert som at funksjonen ikke gjør noen "hopp" (du kan tegne grafen til funksjonen uten å løfte blyanten). Det du tenker på er punktvis kontinuitet, og hvis epsilon-delta-definisjonen gjelder i det punktet, så er det umulig å ha et "hopp" i funksjonen der.
Det brukes veldig mye i konsepter og teoremer som bygger på kontinuitet og konvergens.Du har også en veldig nærliggende bruk som ofte kalles epsilon-N, og det er når man snakker om konvergens. Her er definisjonen av konvergens (fra hukommelsen):
En følge a[sub]n[/sub] konvergerer mot a hvis det for alle [tex]\varepsilon[/tex]>0
eksisterer et naturlig tall N slik at |a[sub]n[/sub] - a|<[tex]\varepsilon[/tex] for alle n> N.
En fin måte å forstå denne definisjonen er å se på følgen
[tex]a_n = \frac{1}{n}[/tex]
som konvergerer mot 0, velge en bestemt [tex]\varepsilon[/tex], f.eks ved å sette den lik 0.0001, og så finne ut hva N blir.
Når det gjelder i bruken for kontinuerlige funksjoner, så er kontinuitet veldig løst definert som at funksjonen ikke gjør noen "hopp" (du kan tegne grafen til funksjonen uten å løfte blyanten). Det du tenker på er punktvis kontinuitet, og hvis epsilon-delta-definisjonen gjelder i det punktet, så er det umulig å ha et "hopp" i funksjonen der.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Takk for svaret. Er det sånn at hvis en grenseverdi ikke nærmer seg samme verdi fra begge sider så er den ikke definert? Pg.a. epsilon-delta?
For eksempel [tex]\lim_{x\to0}\tan(x)[/tex], eksisterer den som grenseverdi?
Mulig jeg her helt på jordet nå, men er ikke så lett å forstå dette.
Prøvde på en oppgave der jeg skulle vise at [tex]\lim_{x\to1}\;\frac{x-1}{x^2-1}=\frac12[/tex]
Setter opp [tex]0\;<\;|x-1|\;<\;\delta\;[/tex] og [tex]\;\;|\frac{x-1}{x^2-1}-\frac12|\;<\;\epsilon[/tex]
Men hva er det jeg skal velge, epsilon eller delta? Skjønner ikke det. Og kan jeg velge den så stor jeg vil så lengde den er større enn 0?
For eksempel [tex]\lim_{x\to0}\tan(x)[/tex], eksisterer den som grenseverdi?
Mulig jeg her helt på jordet nå, men er ikke så lett å forstå dette.
Prøvde på en oppgave der jeg skulle vise at [tex]\lim_{x\to1}\;\frac{x-1}{x^2-1}=\frac12[/tex]
Setter opp [tex]0\;<\;|x-1|\;<\;\delta\;[/tex] og [tex]\;\;|\frac{x-1}{x^2-1}-\frac12|\;<\;\epsilon[/tex]
Men hva er det jeg skal velge, epsilon eller delta? Skjønner ikke det. Og kan jeg velge den så stor jeg vil så lengde den er større enn 0?
Det er nødvendig at grenseverdien fra hver side konvergerer mot samme grense ja, men det gjelder jo for dette eksempelet.moth wrote: For eksempel [tex]\lim_{x\to0}\tan(x)[/tex], eksisterer den som grenseverdi?
Brøken kan forkortes til [tex]\frac{1}{(x+1)}, [/tex]så uttrykket ditt blir [tex]|\frac{1-x}{2(x+1)}| < \epsilon[/tex]moth wrote:Setter opp [tex]0\;<\;|x-1|\;<\;\delta\;[/tex] og [tex]\;\;|\frac{x-1}{x^2-1}-\frac12|\;<\;\epsilon[/tex]
Men hva er det jeg skal velge, epsilon eller delta? Skjønner ikke det. Og kan jeg velge den så stor jeg vil så lengde den er større enn 0?
Prøv å finne en delta som er liten nok til at nevneren må være større enn en halv, og samtidig at telleren er mindre enn epsilon. min-funksjonen er nyttig i slike tilfeller så man slipper å dele opp i flere tilfeller.