inverse funksjoner

[gill]

Inverse funksjoner er når en funksjon er one-to-one gitt ved å uttrykke x som funksjon av y for eks:

[tex]y=e^x[/tex] gir den inverse:


[tex]lny=x[/tex] altså [tex]y=lnx[/tex] når man setter inn den inverse i den opprinnelige funksjonen som en composit funksjon slik at den inverse er variabelen får man alltid x:

[tex]y=e^{ln x}=x[/tex]

I tillegg skal det være slik at den inverse funksjonen og den opprinnelige definerte funksjonen er symmetriske om y=x

Dette er ganske greit se for lineære funksjoner som for for eksempel:

y=2x da blir den inverse funksjonen

[tex]x=\frac{y}{2}[/tex] [tex]y=\frac{x}{2}[/tex]

Da ser man lett at disse to grafene er symmetriske om y=x fra forhåndstall men for funksjonen [tex]y=e^x[/tex] blir det veldig gresk for meg å forstå slikt. Er dette mlig å forklare eller skjønne litt på en eller annen måte at

[tex]y=e^{lnx}=x[/tex] har jeg jo skjønt da siden e opphøyd i hva man må opphøye e for å få x blir x. Men symmetrien ble litt vanskelig å tenke seg fram til her.

[svinepels]

Husk at for hvert punkt [tex](x,y)[/tex] på [tex]f[/tex] har vi et korresponderende punkt [tex](y,x)[/tex] på [tex]f^{-1}[/tex]. At disse to punktene speiler hverandre langs [tex]y=x[/tex] er muligens åpenbart?

Se for eksempel for deg [tex](2,5)[/tex] i et koordinatsystem. Punktet ligger to steg i x-retningen og fem steg i y-retningen. Punktet på en eventuell invers funksjon, [tex](5,2)[/tex] ligger derimot fem steg i x-retningen og to steg i y-retningen. Hvis du ser det for deg, skjønner du at disse er speilbilder av hverandre langs diagonalen [tex]y=x[/tex].

Et forsøk på å forklare det utifra min forståelse av emnet. Har ikke hatt om det så det ble antakeligvis ikke så rigorøst.

[gill]

Har vært uten nett et par dager nå men takk svinepels du forsto det her på en mye lettere måte enn meg.