Vanskelig likning, eksponenter

[Nebuchadnezzar]

Prøvde å løse likningen under

[tex](3x)^{(2x)}=(2x)^{(3x)}[/tex]

Om vi ser bort ifra [tex]x=0[/tex], så tippet jeg en løsning og brukte newtons tilnærmingsmetode (mye styr...). Og etter litt tipping, kom jeg frem til at løsningen var [tex]x=\frac{9}{8}[/tex]

Om vi ser nærmere på det generelle tilfellet

[tex](ax)^{(bx)}=(bx)^{(ax)}[/tex]

Og mater dette inn i en kalkulator, ser jeg at

[tex]x=[/tex][tex]\Large \frac{1}{a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{a}{a-b}}}[/tex]

Som gir oss riktig svar når jeg puttet inn [tex]a=3[/tex] og [tex]b=2[/tex].

Noen idè om hvordan jeg løser [tex](ax)^{(bx)}=(bx)^{(ax)}[/tex] slik at jeg kommer frem til svaret? Har prøvd med logaritmer, men ble ikke så mye klokere.

[tex] {\left( {ax} \right)^{\left( {bx} \right)}} = {\left( {bx} \right)^{\left( {ax} \right)}} [/tex]

[tex]bx\ln \left( {ax} \right) = ax\ln \left( {bx} \right) [/tex]

[tex] x\left( {b\ln \left( {ax} \right) - a\ln \left( {bx} \right)} \right) = 0[/tex]

[tex] b\ln \left( {ax} \right) - a\ln \left( {bx} \right) = 0 [/tex]

Hjelp ?

[drgz]

Hint:

[tex](ax)^{(bx)}=a^{(bx)}\cdot x^{(bx)}[/tex]

[tex]\frac{a^{(bx)}}{b^{(ax)}}=\left(\frac{a^b}{b^a}\right)^x[/tex].

[Nebuchadnezzar]

Smart hint, men med hintet ditt ender i det minste jeg opp med, akkurat det samme som jeg kom frem til over. Nemlig at

[tex] x\ln \left( {\frac{{{a^b}}}{{{b^a}}}} \right) = x\ln \left( {\frac{{{x^a}}}{{{x^b}}}} \right) [/tex]

[tex] \frac{{{a^b}}}{{{b^a}}} = \frac{{{x^a}}}{{{x^b}}} [/tex]

Som jeg heller ikke vet hvordan jeg skal løse =(

[Nebuchadnezzar]

Men dette fungerer vel bare om a og b er større enn null? Fikk i det minste feil svar når jeg lot a og b være mindre.

[drgz]

Fungerer vel på samme måte som svaret du presenterte i første innlegget ditt.

[tex]\left(\frac{a^b}{b^a}\right)=\frac{x^a}{x^b}=x^{(a-b)}[/tex]

som gir

[tex]x = \left(\frac{a^b}{b^a}\right)^{\frac{1}{(a-b)}}[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Redigerte innlegget mitt, to ganger. Kom frem til akkuratt det du skrev. Men redigerte inn problemet mitt, i steden for der det stod at jeg klarte omformingen.

=)

Uansett

[tex]x=\left( \frac{a^b}{b^a} \right)^{\frac{1}{a-b}}[/tex]

Setter vi [tex]a=-4[/tex] og [tex]b=-2[/tex] får vi at [tex]x=1[/tex]. Men løsningen er [tex]x=-1[/tex] ... Og [tex]x=1[/tex] er ingen løsning. Ellers funker det fjell når begge er positive.

[drgz]

Sant det, gjelder når begge er positive. Hvis begge er negative så blir det litt tull med hvordan man manipulerer eksponentene.

[Charlatan]

Man har a^b/b^a = x^(a-b). Hvis a og b er heltall og a-b er et partall må man ta hensyn til både den positive og negative løsningen for x.