Integraler schmintegraler

[Aleks855]

[tex]\large\int \text\frac{dx}{(1-\cos(x))^2[/tex]

Kan noen hjelpe meg i gang med denne? Jeg finner ikke et passende substitusjonsuttrykk

[drgz]

Prøv: [tex]u = \tan\left(\frac{x}{2}\right)[/tex]

[Aleks855]

Innser med ett at dette integralet er litt vanskeligere enn det ser ut som, og definitivt over mitt utdanningsnivå!

Selv når du sier at jeg burde bruke den substitusjonen klarer jeg ikke å se hvorfor, og ikke klarer jeg å derivere den heller

Finnes det noe litteratur eller videoer man kan anbefale for noen som kun har hatt forkurs ingeniør? Det er vel ca. R1-nivå, men mer et utvalg av det stoffet som er relevant for ingeniørfag.

[Janhaa]

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 42&start=0

Løsninga på integralet finnes på linken over (side 1). Der brukes trigonometrisk substitusjon, såkalt Weierstrass subs.

[Aleks855]

Holy crap. Litt over mitt hode, men la det ikke sies at jeg ikke fullfører!

Ok, jeg googla det, og ser at man kan skrive cosx som [tex]\frac{1-u^2}{1+u^2}[/tex]

Betyr det at integranden kan skrives på nytt som [tex]\frac{1}{(1-(\frac{1-u^2}{1+u^2})^2}[/tex] ?

Og må man da bytte ut dx med [tex]\frac{2}{1+u^2}du[/tex] ?

[Janhaa]

Holy crap. Litt over mitt hode, men la det ikke sies at jeg ikke fullfører!
Ok, jeg googla det, og ser at man kan skrive cosx som [tex]\frac{1-u^2}{1+u^2}[/tex]
Betyr det at integranden kan skrives på nytt som [tex]\frac{1}{(1-(\frac{1-u^2}{1+u^2})^2}[/tex] ?
Og må man da bytte ut dx med [tex]\frac{2}{1+u^2}du[/tex] ?

det skal stemme...

[Nebuchadnezzar]

Greit å vite hvorfor man kan gjøre dette og =)

http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_substitution

http://planetmath.org/encyclopedia/Weie ... mulas.html

Alle trigonometriske problem, kan bli omformet til algebraiske problem ved å bruke Wierstrass-substitusjon.

Grunnen til at man ikke så ofte bruker denne, er at disse algebraiske problemene man ofte ender opp med, er mye vanskeligere enn det originale problemet. Et godt tips til når man skal bruke denne metoden, er når alt annet failer, eller når vi at et svært "enkelt" utttrykk. Helst bare en eller to trigonometriske funksjoner. Eksempler under, hvor denne metoden funker fjell.

[tex]I_1 \, = \, \int \sqrt{1-cos(x)} dx[/tex]

[tex]I_2 \, = \, \int \frac{x}{1+\sin(x)} dx[/tex]

Steder hvor denne ikke slå ann like bra

[tex]I_3 \, = \, \int \cos(x)^4 - \sin(x)^4 dx[/tex]

I_3 er et veldig enkelt integral, men blir fort uhorvelig komplisert om man begynner med weierstrass substitusjon.

------------------------------------------

Neste steget blir å vise hvordan

[tex]-\frac{1}{2\tan(\frac{x}{2})}-\frac{1}{6\tan^3(\frac{x}{2})}+C = \frac{sin(x)\left( cos(x) - 2 \right)}{2 \left( cos(x) - 1 \right)^2 }+C[/tex]

Eventuelt løse integralet på en annen måte

[Aleks855]

Ok, begynner å se hvordan det brukes. Men jeg sliter enormt med å forenkle integranden etter substitusjonen.

Ta f.eks. det andre eksempelet ditt.

[tex]I_2 \, = \, \int \frac{x}{1+\sin(x)} dx[/tex]

[tex]\int \frac{x}{1+\frac{2t}{1-t^2}} \ \cdot \ \frac{2}{1+t^2}dt[/tex]

[tex]\cancel{\int \frac{2x}{1+t^2+\frac{2t}{1+t^2}(1+t^2)}dt}[/tex]

Roter meg enormt bort her. Prøvde å se eksemplene på Wikipedia, men de hopper pent over alt det stygge

[Nebuchadnezzar]

Du har glemt å bytte ut den x`en du har =)

[tex]\frac{1}{1+\frac{2t}{1-t^2}} \, = \, \frac{1}{\frac{1-t^2+2t}{1-t^2}} \, = \, {\frac{1-t^2}{1-t^2+2t}}[/tex]

osv

Og det skulle egentlig ha vært cos og ikke sin i det integralet, selv om begge kan løses.

[Aleks855]

Hva skal x'en byttes ut med? Finner det ikke i Wikien.

[Nebuchadnezzar]

Må jo tenke litt da =)

Substitusjon sier jo at vi sier at

t = \tan(\frac{x}{2})

Er jo det som er substitusjonen vår. Resten er jo bare at vi bruker trig-identitene til å uttrykke alle trig uttrykkene vår ved hjelp av t.

Utifra uttrykket over, klarer du sikkert å finne ut hva x. kan bli uttrykkt som. Kanskje en slem oppgave... Etter at du har forenklet og byttet ut x. Så venter det deg en frekk delvis integrasjon. Og en del opprydding.

[Nebuchadnezzar]

[tex] I = \int {\frac{x}{{1 + \cos \left( x \right)}}dx} [/tex]

[tex] t = \tan \left( {\frac{x}{2}} \right)\qquad ,\qquad \frac{{du}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {1 + {t^2}} \right)\qquad ,\qquad x = 2\arctan \left( t \right)\qquad ,\qquad \cos \left( x \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} [/tex]

[tex] I = \int {\frac{{2\arctan \left( t \right)}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}\frac{2}{{1 + {t^2}}}dt} [/tex]

[tex] I = 4\int {\frac{{\arctan \left( t \right)}}{{\frac{2}{{1 + {t^2}}}\left( {1 + {t^2}} \right)}}dt} [/tex]

[tex] I = 2\int {\arctan \left( t \right)dt} [/tex]

[tex] I = \; \cdots [/tex]

[Aleks855]

Ok, siden jeg aldri ever har integrert eller derivert inverse trig-funksjoner, så tyr jeg til Wolfram.

[tex]\int arctan(t) dt = t \cdot arctan(t)-\frac{1}{2}ln(t^2+1)+C[/tex]

Og [tex]t=tan(\frac{x}{2})[/tex]

[tex]tan(\frac{x}{2}) \cdot arctan(tan(\frac{x}{2})) - \frac{1}{2}ln((tan(\frac{x}{2}))^2+1)+C[/tex]

(Herregud)

Er jeg på rett spor?

[Nebuchadnezzar]

Ser riktig ut det der Kan også forenkles litt.

For å løse integralet på slutten, så bruker vi delvis.

[tex]u=\arctan(x) , v^{\tiny\prime}=1 [/tex]

[Aleks855]

Ok, jeg får like gjerne svømme i land.

[tex]\int arctan(t) dt = t \cdot arctan(t) - \int \frac{t}{t^2+1}dt[/tex]

Ny sub:

[tex]u=t^2+1 \\ du = 2tdt[/tex]

Integranden i delvisen blir [tex]\frac{1}{2u}[/tex] men henter ut konstanten [tex]\frac{1}{2}[/tex]

Hele greia igjen:

[tex]t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}du[/tex]

[tex]t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2}ln(u)[/tex]

Vekk med u'en:

[tex]t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2}ln(x^2+1)+C_1[/tex]

(Driter i absoluttverditegn av åpenbare og kvadratiske grunner)

Og [tex]t=tan(\frac{x}{2})[/tex]

[tex]tan(\frac{x}{2}) \cdot arctan(tan(\frac{x}{2})) - \frac{1}{2}ln((tan(\frac{x}{2}))^2+1)+C[/tex]

Nå er jeg helt ør. Den eneste forenklinga jeg ser (og jeg håper den er gyldig) er at [tex]arctan(tan(\frac{x}{2})[/tex] muligens blir [tex]\frac{x}{2}[/tex] men akkurat nå er jeg ikke sikker på noe

Nå er det uansett sengetid for de som skal... ingenting, men har ferie-døgnrytme.