Integraler schmintegraler

[Nebuchadnezzar]

Flott arbeid, er artige med slike integral.


[tex]\tan(\frac{x}{2}) \cdot \arctan(\tan(\frac{x}{2})) - \frac{1}{2}\ln((\tan(\frac{x}{2}))^2+1)+C[/tex]

Helt riktig som du sier, kan forenkle littegranne til

[tex]\frac{x}{2} \cdot \tan(\frac{x}{2})- \frac{1}{2}\ln((\sec(\frac{x}{2})^2)+C[/tex]

[tex]\frac{x}{2} \cdot \tan(\frac{x}{2}) + \ln(\cos(\frac{x}{2}))+C[/tex]

Som også er det endelige svaret

legg til \ foran ln og trig greier, ser litt bedre ut.

EDIT:

Må seff gange greiene over med 2 for å få svaret da. Men ellers flott jobb og fint problem.

[Aleks855]

Ah, konge!

Sitter og går over oppgaven en gang til bare så det sitter.

Men ser du har forenkla [tex](\tan^{\tiny 2}(\frac{x}{2})+1)[/tex] på en måte jeg ikke kjenner igjen. Finner ikke forenklinga for tangens-kvadrater i den Wiki-lista over trig-identiterer heller.

[tosha0007]

Den første overgangen:
[tex]1+ \tan^2(x) = 1+ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2{x}} = \frac{\cos^2(x) + sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)[/tex]

(berre bytt ut x med x/2 så har du det du treng)

Overgang nr. 2:
Hugs regelen [tex]a\ln(x) = \ln(x^a)[/tex] som gir
[tex] -\frac{1}{2}\ln(\sec^2(x)) = \ln\left( ( \sec^2(x))^{-\frac{1}{2}} \right) = \ln((\sec(x))^{-1}) = \ln(\cos(x))[/tex]
sidan [tex] (\sec(x))^{-1} = \left( \frac{1}{\cos(x)}\right)^{-1} = \cos(x)[/tex]

[Aleks855]

Takker Tosha!

Ok, nå tror jeg at jeg har hele greia i boks. Bare for å mate min egen OCD, så tar jeg hele greia i én post, og håper det er forstått riktig

[tex]\int \frac{x}{1+\cos(x)}dx[/tex]

Innfører den nylig oppdagede Weierstrass-substitusjonen.

[tex]=\int \frac{2\arctan(t)}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}} \ \cdot \ \frac{2}{1+t^2}dt[/tex]

[tex]=\int \frac{4\arctan(t)}{2}dt[/tex]

[tex]=2\int\arctan(t)dt[/tex]

[tex]=2(t \cdot \arctan(t)-\frac{1}{2}\ln(t^2+1)[/tex]

Innfører [tex]t=\tan(\frac{x}{2})[/tex]

Innfører også [tex]u=\frac{x}{2}[/tex] for syns skyld, midlertidig

[tex]=2(\tan(u) \cdot u - \frac{1}{2}\ln(tan^{\tiny 2}(u)+1))[/tex]

[tex]=2(\tan(u) \cdot u - \frac{1}{2}\ln(sec^{\tiny 2}(u))[/tex]

[tex]=2(\tan(u)\cdot u+\ln(cos(u)))[/tex]

[tex]=2u\tan(u) +2\ln(cos(u))[/tex]

[tex]u=\frac{x}{2}[/tex]

[tex]=\underline{\underline{x\tan(\frac{x}{2})+2\ln(cos(\frac{x}{2}))}}[/tex]

(Tar forbehold om eventuelle "tunga-ikke-rett-i-munnen"-feil!)

[Aleks855]

Glemte helt det integralet jeg spurte om hjelp til i første innlegg

Men jeg prøvde meg på det, med det jeg har lært i tråden her.

Slik ble resultatet. Jamførte svaret med integralmaratontråden, men jeg hoppa ikke over noen steg, stort sett.

Beklager vidda på bildet

[Nebuchadnezzar]

Flott arbeid!

Og arbitrær er ikke et spesielt godt norsk ord, da det er direkte oversatt fra arbitrary. Bedre alternativ er å bruke det norske synonymet vilkårlig =)

Og her er en alternativ, nesten identisk løsning.

----------------------------

[tex]I \, = \, \int \frac{x}{1+\cos(x)} dx [/tex]

Vi legger merke til at [tex]\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos(x)+1} \right) \, = \, \tan\left( \frac{x}{2} \right)[/tex] Så dermed

[tex]I \, = \, \int x \, \cdot \, \left( \tan\left( \frac{x}{2} \right) \right)^{\tiny\prime } dx [/tex]

Benytter vi oss av delvis integrasjon

[tex]I \, = \, x \cdot \tan\left( \frac{x}{2} \right) - \int \tan\left( \frac{x}{2} \right)\cdot \left( x \right)^{\tiny\prime} dx [/tex]

For å løse det siste integralet, bruker vi [tex]u=\frac{x}{2}[/tex]

[tex]2 \int \tan(u)dx \, = \, 2 \int \frac{\sin(u)}{\left( sin(u) \right)^{\tiny\prime }} dx \, = \, 2 \ln \left( \cos\left( \frac{x}{2} \right) \right) + C [/tex]

Så

[tex]I = \int \frac{x}{1+\cos(x)} dx \, = \, x \, \cdot \tan\left( \frac{x}{2} \right) - 2 \ln \left( \cos\left( \frac{x}{2} \right) \right) + C [/tex]

Har en liten forkjærlighet for integraler skjønner du ^^

[Aleks855]

Ja, det er nok arbitrært hentet fra engelskspråket i min uendelige latskap ja

Undersøkte med norsklæreren på HiST, og han mente det var helt greit å bruke det. http://snl.no/arbitr%C3%A6r

Men når sant skal sies, så får jeg alltid en uggen følelse når jeg bruker ordet likevel, siden det er såpass "billig" å låne ord på den måten.



Men on-topic, så vil jeg takke for hjelpa! Alltid en god følelse å lære et nytt konsept. Hva skulle jeg gjort uten dette forumet

[Nebuchadnezzar]

Etter ei skikkelig fyllekule er det alltid godt å venne tilbake her ja.

Slengte opp en alternativ løsning jeg, håper den ser grei ut. Er fortsatt litt uggen. =)

[Aleks855]

Ser du får et annet fortegn for siste ledd i svaret enn meg.

[tex]2 \int \tan(u)dx \, = \, 2 \int \frac{\sin(u)}{\left( sin(u) \right)^{\tiny\prime }} dx \, = \, 2 \ln \left( \cos\left( \frac{x}{2} \right) \right) + C [/tex]

Uten at jeg er sikker, så tror jeg det kommer herfra. Å integrere en tangensfunksjon gir vel negativt fortegn for logaritmeutfallet om jeg ikke husker feil.

[Nebuchadnezzar]

Helt riktig det, man får negativt fortegn =) Slurvefeil.