Integral

[Integralen]

Oppgave 8.6.13

Finn:

[tex]\int x|x-1| dx[/tex]

Hvordan????

På forhånd takk!

[Nebuchadnezzar]

Del opp problemet ditt i to tilfeller.

En der [tex]|x-1| >0 [/tex]
En der [tex]|x-1| <0[/tex]

[Integralen]

Jeg skjønner ikke hva du mener eller hvordan du mener jeg skal dele opp problemet( kan du vise det?) midlertidig så har jeg kommet fram til siden jeg skal finne :

[tex]\int_{0}^{2}|x-1|x dx[/tex]

Så jeg skrev det som:
[tex]\int_{0}^{2} x \sqrt{(x-1)^2} dx[/tex]

Og da endte jeg med:

[tex]\frac{1}{2} (x-1)^2+\frac{1}{3} ((x-1)^2)^{\frac{3}{2}}[/tex]


Da jeg satte inn grensene fikk jeg:

[tex]\frac{5}{6}-\frac{5}{6}[/tex]

noe som er feil.Svaret skal bli lik 1.

Så hva gjør jeg feil og hvordan skal det bli riktig??????

[Nebuchadnezzar]

Du har glemt å skrive opp grensene i første innlegg.

Vi har

[tex]|x-1|[/tex]

[tex]|x-1|=0[/tex] når [tex]x=1[/tex] som betyr at

[tex]|x-1|<0 [/tex]når [tex]x<1[/tex] og [tex]|x-1|>0[/tex] når [tex]x>1[/tex]

La oss nå anta at [tex]x<1[/tex] da får vi

[tex]\int x\cdot (-1)(x-1) dx \, = \, \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C[/tex]

La oss nå anta at [tex]x>1[/tex]

[tex]\int x\cdot (x-1) dx \, = \, - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + D[/tex]

Så

[tex]f(x)=\left\{ - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + D \quad , \quad x > 1 \\ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C \quad , \quad x \leq 1\right.[/tex]

Men igjen, dette blir mye lettere om man husker grensene sine.

[Nebuchadnezzar]

Du må dele opp integralet ditt i to deler. En som går fra 0 til 1 og en som går fra 1 til 2. Pga absoluttegnet. På integralet fra 0 til 1 bruker du -(x-1) siden x er negativ der. Og på det andre bruker du x-1.

Blir lettere om du tegner problemet ditt.

[Integralen]

Jeg tenkte å sette inn grensene senere.

Foresten:

[tex]f(x)=\left\{ - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + D \quad , \quad x > 1 \\ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C \quad , \quad x \leq 1\right.[/tex]

Skal det ikke være x større eller lik 1 også for den første funksjonen, siden man regner arealet fra x=1 til x=2 etter å ha delt opp.For hvis du bare skriver x større enn 1 for den første funksjonen så vil jo man ikke kunne regne ut for x=1 som er nødvendig for den andre delen av integralet, hvis du skjønner ??

[Nebuchadnezzar]

Joda sikkert =) Men beste er å dele opp integralet fra begynnelsen av =)

[Integralen]

Helmaks!