Hva konkret er det som er feil i den siste ulikheten?plutarco wrote:Beviset av den siste ulikheten er ikke riktig.
Bevis ved motsigelse kan brukes
To beviser - lower bounds/upper bounds
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Synes dette blir nokså knotete, så jeg googlet problemet for å se hvordan andre har tenkt (pleier ikke å gjøre dette ettersom jeg gjerne vil bevise ting selv, men nå vil jeg bli ferdig med dette og komme meg videre 
).
Jeg kom da over et bevis som minner litt om hvordan jeg først satt det opp, men litt mer rigorøst. Beviset lyder:
By the least-upper-bound property, [tex]\alpha = inf(A)[/tex] exists. By the definition of infimum, [tex]\alpha \leq x[/tex] for all [tex]x \in A[/tex], and if [tex]\beta > \alpha[/tex], then there exists a [tex]y \in A[/tex] such that [tex]\beta > y[/tex]. Therefore Proposition 1.18(a)* implies [tex]-\alpha \geq -x[/tex] for all [tex]x \in A[/tex], and if [tex]\gamma < -\alpha[/tex], then there exists a [tex]y \in A[/tex] such that [tex]\gamma < -y[/tex]. Thus [tex]-\alpha[/tex] is an upper bound of [tex]-A[/tex], and if [tex]\gamma < -\alpha[/tex], then [tex]\gamma[/tex] is not an upper bound of [tex]-A[/tex]. By the definition of supremum, it follows that [tex]-\alpha = sup(-A)[/tex], and therefore [tex]inf(A) = -sup(-A)[/tex].
*Proposition 1.18 (a): If [tex]x > 0[/tex] then [tex]-x < 0[/tex], and vice versa.
).Jeg kom da over et bevis som minner litt om hvordan jeg først satt det opp, men litt mer rigorøst. Beviset lyder:
By the least-upper-bound property, [tex]\alpha = inf(A)[/tex] exists. By the definition of infimum, [tex]\alpha \leq x[/tex] for all [tex]x \in A[/tex], and if [tex]\beta > \alpha[/tex], then there exists a [tex]y \in A[/tex] such that [tex]\beta > y[/tex]. Therefore Proposition 1.18(a)* implies [tex]-\alpha \geq -x[/tex] for all [tex]x \in A[/tex], and if [tex]\gamma < -\alpha[/tex], then there exists a [tex]y \in A[/tex] such that [tex]\gamma < -y[/tex]. Thus [tex]-\alpha[/tex] is an upper bound of [tex]-A[/tex], and if [tex]\gamma < -\alpha[/tex], then [tex]\gamma[/tex] is not an upper bound of [tex]-A[/tex]. By the definition of supremum, it follows that [tex]-\alpha = sup(-A)[/tex], and therefore [tex]inf(A) = -sup(-A)[/tex].
*Proposition 1.18 (a): If [tex]x > 0[/tex] then [tex]-x < 0[/tex], and vice versa.
Mulig det er knotete, men slik er det ofte med bevis. Jeg kommenterer ikke for å kverulere, men for å peke på svakheter i argumentasjonen. Hovedproblemet i ditt første forsøk på å vise oppgave 2 er, slik jeg ser det følgende:
Du skriver at (litt omskrevet) [tex]\alpha=\inf(A)[/tex], og at det da følger at for alle x i A er [tex]\inf(A)\leq x[/tex]. Alt vel så langt. Deretter foretar du en enkel algebraisk operasjon, multiplikasjon med -1, og trekker direkte slutningen om at [tex]-\inf(-A)[/tex] er et supremum for for mengden -A. Dette krever et lite argument, som er gitt i linken du fant, men uten dette er beviset, slik jeg ser det, mangelfullt.
Du skriver at (litt omskrevet) [tex]\alpha=\inf(A)[/tex], og at det da følger at for alle x i A er [tex]\inf(A)\leq x[/tex]. Alt vel så langt. Deretter foretar du en enkel algebraisk operasjon, multiplikasjon med -1, og trekker direkte slutningen om at [tex]-\inf(-A)[/tex] er et supremum for for mengden -A. Dette krever et lite argument, som er gitt i linken du fant, men uten dette er beviset, slik jeg ser det, mangelfullt.
Jeg tolker absolutt ikke det du skriver som kverulering. Tvert i mot er jeg svært takknemlig for at du tar deg tid til å hjelpe og korrigere. Å skrive bevis er jo ganske nytt for meg, og jeg har hørt fra andre at det tar tid og en god del frustrasjon før man behersker det. Jeg har jo veldig lyst til å klare dette jeg også, så alt det du skriver er til veldig god hjelpplutarco wrote:Mulig det er knotete, men slik er det ofte med bevis. Jeg kommenterer ikke for å kverulere, men for å peke på svakheter i argumentasjonen. Hovedproblemet i ditt første forsøk på å vise oppgave 2 er, slik jeg ser det følgende:
Du skriver at (litt omskrevet) [tex]\alpha=\inf(A)[/tex], og at det da følger at for alle x i A er [tex]\inf(A)\leq x[/tex]. Alt vel så langt. Deretter foretar du en enkel algebraisk operasjon, multiplikasjon med -1, og trekker direkte slutningen om at [tex]-\inf(-A)[/tex] er et supremum for for mengden -A. Dette krever et lite argument, som er gitt i linken du fant, men uten dette er beviset, slik jeg ser det, mangelfullt.
. Det er vel de færreste som tar Rudin på strak arm ved første gjennomgang (håper jeg i hvert fall)!