Differenslikning

[mushin]

Hei, mulig jeg "kaprer" tråden her. Bare slett hviss det blir for frekt. Sitter med Lindsrøm's Kalkulus bok og leser om annenordenes homogene differensligninger, og han bruker fibonacci-følgen som eksempel. Poenget er at jeg hang meg opp i et ligningssett jeg ikke klarer å løse:

Her er oppgaven ( beklager, kan ikke noe bra txt-formatering for matte notasjon)

Leddene a1 og a2 er begge lik 1, dvs de to første leddene i fibonacci sekvensen. Videre har vi funnet ut av at ligningen har de reelle røttene r og q, hvor r = (1+sqrt(5))/2 og q = (1-sqrt(5))/2. Så sier boken at ligningsettet finner konstantene C = sqrt(5)/5 og D = -sqrt(5)/5, men dessverre ikke noe om hvordan de kom frem til løsningen, derfor har jeg sitti og prøvde lenge selv. Hvordan går man frem? Selv Wolfram Alpha gir et annet resultat en boka ( mulig jeg plotter feil, men det ser riktig ut ). Ligningene som skal løses er :

1 = a1 = C*r + D*q og 1 = a2 = C*r^2 + D*q^2, igjen beklager syntax.

EDIT: Flyttet av mod

[mstud]

Slik tenker jeg om 1. del av fremgangsmåten:

Leddene [tex]a_1[/tex] og [tex]a_2[/tex] er begge lik 1, dvs de to første leddene i fibonacci sekvensen. Videre har vi funnet ut av at ligningen har de reelle røttene r og q, hvor [tex]r = \frac{1+sqrt{5}}{2}[/tex] og [tex]q = \frac{1-sqrt{5}}{2}[/tex]. Så sier boken at ligningsettet finner konstantene [tex]C = \frac {sqrt{5}}{5}[/tex] og [tex]D = \frac {-sqrt{5}}{5}[/tex],

[tex]1 = a_1 = C \cdot r + D \cdot q[/tex] og [tex]1 = a_2 = C \cdot r^2 + D \cdot q^2[/tex] Dette gir

[tex]1 = a_1 = C \cdot \frac{1+sqrt{5}}{2} + D \cdot \frac{1-sqrt{5}}{2}[/tex] og [tex]1 = a_2 = C \cdot \left( \frac{1+sqrt{5}}{2}\right) ^2 + D \cdot \left( \frac{1-sqrt{5}}{2}\right) ^2[/tex]

[tex]1 = a_1 = C \cdot \frac{1+sqrt{5}}{2} + D \cdot \frac{1-sqrt{5}}{2}[/tex] og [tex]1 = a_2 = C \cdot \left( \frac{(1+sqrt{5})^2}{2^2}\right) + D \cdot \left( \frac{(1-sqrt{5})^2}{2^2}\right)[/tex]

Bruker 1. & 2. kvadratsetn. på teller i siste leddene i [tex]a_2[/tex] :

[tex]1 = a_1 = C \cdot \frac{1+sqrt{5}}{2} + D \cdot \frac{1-sqrt{5}}{2}[/tex] og [tex]1 = a_2 = C \cdot \left( \frac{(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot sqrt{5}+(sqrt{5})^2)}{4}\right) + D \cdot \left( \frac{(1^2- 2 \cdot 1 \cdot sqrt{5} +(sqrt{5})^2 )}{4}\right)[/tex]

Forenkler litt:

[tex]1 = a_1 = C \cdot \frac{1+sqrt{5}}{2} + D \cdot \frac{1-sqrt{5}}{2}[/tex] og [tex]1 = a_2 = C \cdot \left( \frac{(1 + 2 sqrt{5}+5)}{4}\right) + D \cdot \left( \frac{(1- 2 sqrt{5} +5)}{4}\right)[/tex]

[tex]1 = a_1 = C \cdot \frac{1+sqrt{5}}{2} + D \cdot \frac{1-sqrt{5}}{2}[/tex] og [tex]1 = a_2 = C \cdot \left( \frac{(6 + 2 sqrt{5})}{4}\right) + D \cdot \left( \frac{(6- 2 sqrt{5})}{4}\right)[/tex]

[mstud]

[tex]a_1=a_2[/tex] gir:

[tex]\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)C+ \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)D = \left( \frac{6+2\sqrt{5}}{4} \right)C + \left( \frac{6-2\sqrt{5}}{4} \right)D \\ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{6+2\sqrt{5}}{4} \right)C= \left( \frac{6-2\sqrt{5}}{4} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)D \\ \left( \frac{2(1+\sqrt{5})}{2 \cdot 2} - \frac{6+2\sqrt{5}}{4} \right)C= \left( \frac{6-2\sqrt{5}}{4} - \frac{2(1-\sqrt{5})}{2 \cdot 2} \right)D \\ \left( \frac{(2+2\sqrt{5})}{4} - \frac{6+2\sqrt{5}}{4} \right)C= \left( \frac{6-2\sqrt{5}}{4} - \frac{(2-2\sqrt{5})}{4} \right)D \\ \left( \frac{2+2\sqrt{5}-(6+2\sqrt{5})}{4}\right) C =\left( \frac{6-2\sqrt{5} - (2-2\sqrt{5})}{4} \right)D \\ \left( \frac{2-6}{4}\right) C =\left( \frac{6- 2}{4} \right)D \\ \left( \frac{-4}{4}\right) C =\left( \frac{4}{4} \right)D \\ -1 \cdot C =1 \cdot D \\ dvs. \ D=-C[/tex]

[mstud]

Dette setter vi inn i [tex]a_1=1[/tex]:

[tex]\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right) \cdot C+ \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) \cdot D=1 \\ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right) \cdot C + \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) \cdot -C=1[/tex]

Faktoriserer ut C:

[tex]\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right) - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) \right) \cdot C=1 \\ \left( \frac{1+\sqrt{5} - 1+\sqrt{5}}{2} \right) \cdot C=1 \\ \left( \frac{2\sqrt{5}}{2} \right) \cdot C=1 \\ \sqrt{5} \cdot C = 1[/tex]



Deler på [tex]\sqrt{5}[/tex] på begge sider og får:

[tex]C=\frac 1{\sqrt{5}}=\frac {1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]

D=-C gir da [tex]D=-(\frac{\sqrt{5}}{5})=-\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]

Håper dette var til hjelp

Hvis det er noen av utregningene mine du lurer på, er du velkommen til å spørre. Og hvis noen andre her på forumet har noe å utsette på utregningene mine, værsågod, kommenter...