Ulikht med komplekse tall, har jeg gjort riktig?

[dan]

Hei!

Jeg har følgende oppgave:
skisser i det komplekse planet:{z| |z-2|<|z-i+2|}

jeg tenker umiddelbart at det letteste er å se på det som to vektorer:
Finn alle punkter z så avsanden fra (2.0) til z < avstanden fra (-2.1), mao. alle punkter som er nærmere 2.0 enn -2.1.

Jeg har også regnet det ut som en ligning, og funnet at y<(1/2)+4x, men jeg finner ingen fornuftig måte å gjøre dette geometrisk, utifra det jeg vet om avstand til punktene.

Takk!

[Vektormannen]

Jeg tror da dette skal være helt riktig! Mengden består av alle z = x + yi som er slik at y < 1/2 + 4x. Dvs. alle punkter i det komplekse planet som ligger under linja y = 1/2 + 4x.

En alternativ og mer geometrisk måte å løse det på er å se på punktene (2,0) og (-2,1). Du er interessert i alle punkter som er nærmest punktet (2,0). Hvis du trekker et linjestykke fra det ene til det andre punktet så vil alle punkt på dette linjestykket fra (ikke med) midten og inn mot (2,0) oppfylle kravet. Er du med på at hvis du nå lar en linje gå gjennom dette midtpunktet og normalt på linjestykket så vil alle punkt som er på samme side av linja som (2,0) også oppfylle kravet? Dette er en annen måte å komme frem til det samme på. Du vil finne at linja er gitt ved y = 1/2 + 4x, slik du fant ved å regne på det.

[dan]

takk vektor

Ja, det var det jeg tenkte på; finner vektoren fra (-2,1) til (2,0) = (4,1-).
Men det var den siste regninga jeg lurte litt på.

Kansje jeg kunne forklare det sånn: Finner den vektoren C=(C_x, C_y) Så
C*(4,1) = (4*C_x -1*C_y) = 0, finne vektoren (1, 4), og si at siden like langt unna de to punktene er 0.5, så må vektoren gå gjennom punktet, og derfor er likningen y< 0.5 + 4x?

[Vektormannen]

Jeg vet ikke om jeg forsto helt hva du mente, men det ser ut som du finner en vektor (1,4) som er parallell med denne normallinja ved å benytte skalarproduktet? I såfall ser det riktig ut ja!

At vektoren (1,4) er parallell med linja betyr at linja har stigningstall 4 (den går 4 opp på y-aksen når man går 1 bort på x-aksen). Da vet man altså både at linja skal gå gjennom (0,1/2) og at den skal ha stigningstall 4, så man ender da opp med y = 1/2 + 4x. (Og så mindre enn-tegn fordi alle punkt som er under denne linja vil være nærmere det ene punktet enn det andre.)

[dan]

Ja, ok. Supert.
Vektoren jeg tenkte på var den som gangen med vektoren mellom punktene, altså (4,-1) blir null, siden skalarproduktet er null når vektorene er normale.

Takk igjen!