Kort spørsmål om kompakte sett

[krje1980]

Prøver å lære meg grunnleggende topologi fra Rudin, og sliter litt med å forstå dette med kompakte sett.

En definisjon på kompakte sett er:

A set [tex]K[/tex] is compact in the metric space [tex]X[/tex] if every open cover of [tex]K[/tex] contains a finite subcover.

Jeg har sett eksempler på dette som jeg skjønner helt greit, men når jeg begynner å spekulere på ulike scenarioer for meg selv blir jeg litt mer usikker. Vi har nemlig et annet teorem som sier at:

Finite sets are compact.

La oss f.eks. si at vi har et finite sett S i [tex]\mathbb{R}[/tex]: {1, 2, 3}. La oss videre si at dette settet er dekket av et open cover: (0, 4). Dersom dette er det eneste open cover settet, kan vi da fremdeles si at vi har et "finite subcover"? I alle de eksemplene jeg har sett, så har det nemlig vært såpass mange sett som har utgjørt open cover at det er lett å plukke vekk noen for så å sitte igjen med et endelig subcover.

Men hva om man da altså kun har dette ene settet? Kan vi da si at dette settet i sin helhet også utgjør et finite subcover?

Håper ikke jeg spør for dumt her . Det er ikke så lett å holde styr på alle disse nye begrepene.

[Gustav]

Å vise kompakthet er vel ofte verre enn å vise at en mengde ikke er kompakt.

F.eks. er det vel ganske lett å vise at åpne intervaller i R ikke er kompakte ved å konstruere uendelige åpne overdekninger som åpenbart ikke har endelige deloverdekninger.

Jeg har aldri sett noen eksempler på mengder der det kun fins én åpen overdekning bestående av kun én mengde, i så fall er det ikke noe problem, for da vil jo mengden uansett være kompakt siden den eneste overdekningen altså er endelig.

Mulig jeg ikke forsto problemstillingen din..

[krje1980]

Takk for svar.

Jeg tror faktisk du forstod det bra . Som du sier, så er vel mengden kompakt ettersom den eneste overdekningen er endelig. Det var rett og slett veldig mange nye begrep jeg prøvde å lære meg i går, og jeg tror nok jeg trenger litt tid på å fordøye alt.