komplekse røtter

[matsorz]

Hei. Skal finne de tre kubiske røttene av -1+i
Det jeg har gjort er å sette z^3= r^3(cos(3x)+isin(3x) som gjelder generelt. Men hva skal jeg gjøre videre?

[Gommle]

Du har

$z^3=-1+i=\sqrt{2}(\frac{-1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}[\cos (\frac{3\pi }{4}+2\pi N)+i\sin (\frac{3\pi }{4}+2\pi N)]$

Nå kan du bruke at ${[\cos (x)+i\sin (x)]}^{\frac{1}{n}}=\cos (\frac{x}{n})+i\sin (\frac{x}{n})$.

Den formelen kan vises ved å se på

$e^{inx}={\left(e^{ix}\right)}^n$

[matsorz]

Men får jeg ikke bare 1 løsning da? 3pi/4 + n*2pi, gir jo bare en løsning det er verdt å bruke..

[Gommle]

Hvis du deler på 3 er det ikke lenger 2pi*N, og du får tre løsninger.

[matsorz]

Hehe, stemmer