Vann renner ut av en tank formet som en sirkulær kjegle satt opp ned. Det renner ut 10.000 cm3/min samtidig som vann blir pumpet inn med en konstant rate. Tanken er 6 m høy og har en diameter på 4 m på toppen. Vannnivået stiger med 20 cm/min når vanndybden er 2 meter. Finn hvor mye vann som pumpes inn i tanken per minutt.
Jeg har kommet så langt som å definere volumet av kjeglen, og av dersom vannstanden V er en funksjon av dybden d, så er V'(2)=20cm/min.
Trenger litt hjelp på denne. Kommer meg ikke i gang med regninga...
EDIT: For å utdype; jeg får ikke definert en funksjon for vannvolumet mhp. vannstanden (høyda). Jeg får heller ikke til å hoppe rett inn i en definisjon for den deriverte av V(d).
Vannstand i kjegle
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hei,
vi vet at massen er bevart i systemet, så vi kan sette opp at
[tex] \frac{dV}{dt} = x - 10 000[/tex] der x er svaret vi søker.
Trenger uttrykket for [tex] \frac{dV}{dt}[/tex].
Vet at [tex] V =\frac{ \pi r^2 h}{3}[/tex]
Trenger nå å uttrykke r med hensyn på h siden vi har informasjon om hvordan høyden forandrer seg, men ikke om radiusen.
Formlikhet gir at [tex] r=\frac{h}{3}[/tex]
Da sitter vi med uttrykket
[tex] V = \frac{\pi (\frac{h}{3} )^2 h}{3}[/tex]
Veien videre blir implisitt derivasjon!
vi vet at massen er bevart i systemet, så vi kan sette opp at
[tex] \frac{dV}{dt} = x - 10 000[/tex] der x er svaret vi søker.
Trenger uttrykket for [tex] \frac{dV}{dt}[/tex].
Vet at [tex] V =\frac{ \pi r^2 h}{3}[/tex]
Trenger nå å uttrykke r med hensyn på h siden vi har informasjon om hvordan høyden forandrer seg, men ikke om radiusen.
Formlikhet gir at [tex] r=\frac{h}{3}[/tex]
Da sitter vi med uttrykket
[tex] V = \frac{\pi (\frac{h}{3} )^2 h}{3}[/tex]
Veien videre blir implisitt derivasjon!
Aiai, det ble litt fysikk ja...
Men kapitlet heter "related rates", så det å bruke fysikk blir kanskje litt kontraproduktivt, da det er related rates jeg skal lære.
Fasitsvaret er [tex]10.000+800.000\frac{\pi}{9}[/tex] men akk...
Men kapitlet heter "related rates", så det å bruke fysikk blir kanskje litt kontraproduktivt, da det er related rates jeg skal lære.
Fasitsvaret er [tex]10.000+800.000\frac{\pi}{9}[/tex] men akk...
Ikke mye fysikk som behøves her. Stort sett geometri+diff.ligning:
Vannets volum: [tex]V(h)=\frac{\pi h^3}{27}[/tex].
Oppgitt at [tex]\frac{dV}{dt}=k-10000[/tex] og at [tex]\frac{dh}{dt}=20[/tex] når [tex]h=200[/tex].
[tex]\frac{dV}{dt}=\frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt}=k-10000[/tex]
Edit: skulle selvsagt være h=200cm, ikke 2 slik jeg skrev.
Vannets volum: [tex]V(h)=\frac{\pi h^3}{27}[/tex].
Oppgitt at [tex]\frac{dV}{dt}=k-10000[/tex] og at [tex]\frac{dh}{dt}=20[/tex] når [tex]h=200[/tex].
[tex]\frac{dV}{dt}=\frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt}=k-10000[/tex]
Edit: skulle selvsagt være h=200cm, ikke 2 slik jeg skrev.
Last edited by Gustav on 08/09-2011 15:05, edited 1 time in total.
Konge, der sank den inn. Takker!
Noe jeg glemte å spørre om. Hvordan gikk det for seg at r=h/3?
Ah, ser det nå. Hadde glemt at radiusen til tanken var definert i oppgaveteksten. Sett meg blind på hele greia tydeligvis. 