Skjæring mellom linje og plan

[mentalitet]

Hei.

Har planet II: 4x-2y+3z=12
og linja l: x=2+2t, y=3t-1, z=1-t

Forklar at l må skjære II.

..det er vel fordi retningsvektoren til linja ikke er parallell med normalvektoren til planet - dvs. at de skjærer hverandre uansett?

[Vektormannen]

Du er nok inne på riktig tankegang, men tenk litt over det du sier. Hvis ei linje har en retningsvektor som er parallell med normalvektoren til planet, er du med på at linja da vil gå tvers gjennom (normalt på) planet?

Kan du tenke deg hva som i stedet må være tilfelle dersom planet og linja skal være parallelle?

[mentalitet]

Er med på det, ja. Jeg kan vel utlede det på den vanlige "skjæringspunkt mellom plan og linje"-måten og sjekke at jeg får en t-verdi? (altså at jeg får f.eks t=2 og ikke 0t=2.)

[Vektormannen]

Det går også an ja. Det er kanskje den kjappeste og greieste måten.

Men du kan også sjekke det på en måte som er nærmere det du tenkte i sted. Det er klart at linjen ikke vil skjære planet dersom den går parallellt med planet og samtidig ikke ligger i planet (var det dette du mente i sted?)

Hvis linja går parallelt med planet så vil den gå normalt på normalvektoren. Altså må skalarproduktet mellom normalvektoren til planet og retningsvektoren til linja være 0 dersom linja skal gå parallelt med planet.

Du kan altså være sikker på at linja skjærer planet dersom

a) Skalarproduktet mellom retningsvektoren til linja og normalvektoren til planet er forskjellig fra 0
eller
b) Skalarproduktet mellom retningsvektoren til linja og normalvektoren til planet er lik 0, og et punkt på linja også ligger i planet.

Kort sagt: hvis du finner at skalarproduktet er forskjellig fra 0, så kan du allerede konkludere med at de vil skjære hverandre. Hvis det blir 0 så må du også sjekke om et tilfeldig punkt fra linja ligger i planet. (Hvorfor kan du velge et tilfeldig punkt?)

[mentalitet]

Kan vel velge et tilfeldig punkt fordi det uansett ligger på linja som er parallell/ikke parallell med planet?

[Vektormannen]

Ja, du kan velge et hvilket som helst punkt fordi hvis normalvektoren står vinkelrett på retningsvektoren og linja fortsatt skal skjære planet, så må den ligge i selve planet, og da kan du velge deg et hvilket som helst punkt på linja og se om dette ligger i planet. Hvis ikke så er linja parallell med planet, og ikke inneholdt i planet, og da er det ingen skjæringspunkter mellom dem.

[mentalitet]

Takk skal du ha! det hjalp veldig