Nå tenkte jeg en god stund på denne oppgaven... Kom frem til følgende. Problemet var at det stod 1 eller 2 over, som gjorde ting litt værre.Assuming that [tex]\gcd(a,b)=1[/tex], prove the following
[tex]\gcd(a+b,a-b)=1[/tex] or [tex]2[/tex]
Kan noen si hva jeg har gjort galt / riktig i resonnementet mitt under. / Eventuelt en riktig-/ere måte å føre dette på?
Vi begynner med hintet som er gitt i oppgaven nemmlig at vi lar
[tex]d = \gcd(a+b,a-b)[/tex]
Som er det samme som at
[tex]d | x(a+b)+y(a-b)[/tex]
Velger vi litt smarte verdier for x og y, ser vi at
[tex]d | 1(a+b)+1(a-b) \Rightarrow d | 2a[/tex]
og
[tex]d | 1(a+b)+(-1)(a-b) \Rightarrow d | 2b[/tex]
Herfra er jeg usikker på hva jeg skal gjøre.
Siden vi vet at d deler 2b og at d deler 2a, så kan vi skrive at
[tex]d \leq gcd(2a,2b)[/tex]
[tex]d \leq 2 gcd(a,b)[/tex]
[tex]d \leq 2[/tex]
QED?
