Bevis med modulus av kontinuitet

[wingeer]

Hei.
Jeg skal bevise at dersom en har en funksjon f over X og definerer:
[tex] \omega_{f,X}(\delta) = sup\{ |f(x)-f(y)|: x,y \in X, |x-y|< \delta \}[/tex] for alle delta større enn 0 så er f uniformt kontinuerlig hvis og bare hvis [tex]\lim_{\delta \to 0} \omega_{f,X}(\delta)=0[/tex].
Jeg begynner først med å skrive ut definisjonen på at f er uniformt kontinuerlig med omega. Altså for alle epsilon>0 eksisterer det en [tex]\delta_1>0[/tex] s.a. [tex]\omega_{f,X}(\delta_1) < \epsilon[/tex].

Viser =>
Anta at [tex]\lim_{\delta \to 0} \omega_{f,X}(\delta)=0[/tex]. Det betyr at det finnes en [tex]\delta_1>0[/tex] slik at [tex]|\delta - 0| = \delta < \delta_1 \rightarrow |\omega_{f,X}(\delta)-0|=\omega_{f,X}(\delta)<\epsilon[/tex], men siden [tex]\delta < \delta_1[/tex] og [tex]\omega_{f,X}\geq 0[/tex] og ikke-økende må [tex]\omega_{f,X}(\delta_1)< \omega_{f,X}(\delta) < \epsilon[/tex]. Altså er f uniformt kontinuerlig ved avsnittet over.

<=
Anta at f er uniformt kontinuerlig. Da vet vi at for alle epsilon>0 eksisterer det en [tex]\delta_1>0[/tex] s.a. [tex]\omega_{f,X}(\delta_1) < \epsilon[/tex].
Men her stopper jeg opp. Noen hint i retningen videre? Og gjerne tilbakemelding for beviset av tilstrekkelighet (nødvendighet? Usikker på begrepene).
Takk!

[Gustav]

Det er vel egentlig bare å bruke den formelle grenseverdidefinisjonen.

Hintet er vel kanskje at dersom [tex]0<x<\delta[/tex], så er [tex]w_{f,X}(x)\leq w_{f,X}(\delta)[/tex].

w er vel en voksende funksjon... Se for deg f.eks. at f er lineær..