Completion of metric space

[krje1980]

Hei.

Jeg har en oppgave hvor jeg har en intuitiv idé om hva løsningen skal være, men jeg er redd for at løsningen min er litt for enkel.

Oppgaven lyder:

Let [tex]X[/tex] be the metric space whose points are the rational numbers, with the metric [tex]d(x,y) = |x - y|[/tex]. What is the completion of this space?


OK. Løsningsforslag (på engelsk):

A space is complete if every Cauchy sequence in the space converges. A sequence [tex]\{p_n\}[/tex] is a Cauchy sequence if for every [tex]\epsilon > 0[/tex] there is an integer [tex]N[/tex] such that [tex]d(p_n, p_m) < \epsilon[/tex] if [tex]n \geq N[/tex] and [tex]m \geq N[/tex].

The given metric space does not however have this property. A sequence may converge to an irrational number, and since this number does not exist in the given space, the space is not complete. In other words, in the given metric space there may exist an [tex]\epsilon > 0[/tex] such that [tex]d(p_n, p_m) \not< \epsilon[/tex] for the converging sequence. Thus the completion of the space would be the inclusion of all real numbers.

Setter veldig stor pris på kommntarer/rettelser/innspill!

[wingeer]

"Inclusion of all real numbers"? Du trenger strengt tatt bare de irrasjonale. Dersom du legger til irrasjonale tall til de rasjonale tall danner du R, som vi vet er komplett under metrikken. Det er ikke for enkelt; Det bare er så enkelt. hehe.

[Gustav]

R er komplett og inneholder X. (men det i seg selv er ikke noe bevis av oppgaven)

Det du må bevise, rigorøst (eller evt. argumentere for), er at X er tett i R.

[krje1980]

Takker for svar.

Teorem 1.20 b) i Rudins bok beviser at Q er tett i R. Regner med jeg kan henvise til dette teoremet i oppgaven heller enn å måtte kopiere alt opp ord for ord. Så dersom jeg føyer til dette og så skriver at:

Thus, the space is complete when we include all irrational numbers (Jeg skrev feil opprinnelig - mente selvsagt å skrive "irrational" men av en eller anne grunn skrev jeg "real").

Vil oppgaven ville være besvart tilstrekkelig da?

[Gustav]

Ja. Ser bra ut.

[krje1980]

OK. Takk igjen! Setter pris på det!

[Nebuchadnezzar]

Gratulerer krje1980

Du begynner å få taket på dette nå!

[krje1980]

Takk, Nebu.

Det går seg til sakte, men sikkert .