Vanskelig

[Guest]

Draw an expression tree that has four external nodes, storing the numbers 1,5,6 and 7(with each number stored one per external node but not necessarily in this order), and has three internal nodes, each storing an operation from the set {+,-,x,/} of binary arithmetic operators, so that the value of the root is 21. The operators are assumed to return rational numbers(not integers), and an operator may be used more than once(but we only store one operator per internal node).

[Guest]

Til Solar Plexsus

Har du mulighet til å se på dette? Du virker som en usedvanlig oppegående person, så jeg håper du kan ha noen innspill.

På forhånd takk!

[knut1]

Uklar oppgave (uvante uttykk)

((7 - 5 ) + 1) * 7

Her blir det brukt tre aritmetikkfunksjoner og resultatet er 21

Er det gitt andre forutsetninger ?

[Guest]

Oppgaveteksten er kanskje ikke så lett å forstå, så jeg kan forenkle den litt:

Bruk sifrene 1, 5, 6 og 7 nøyaktig en gang, sammen med 3 av disse aritmetikkfunksjonene {+,-,/,x). Her sier oppgaveteksten at en kan bruke samme operator flere ganger. Målet er å få 21.

Code: Select all

           x
        /     \
       x       x
     /   \     /  \
    S     S   S    S

I oppgaveteksten står det at en skal tegne et "expression tree", det vil i så fall se ut som ovenfor. Her vil x-ene være operatorene og S-ene vil være sifrene 1, 5, 6 og 7.

[Solar Plexsus]

Sånn som jeg oppfatter problemet skal vi finne a,b,c,d som er sifrene 1,5,6,7 i en eller annen rekkefølge slik at

(a*b)*(c*d)=21

der * er en av operatorene +,-,∙,/.

Jeg har kommet til den konklusjon at dette problemet ikke har noen løsning! For å være på den sikre side, har jeg skrevet et dataprogram som tester alle mulig kombinasjoner av sifre og operatorer på uttrykket (a*b)*(c*d), men ingen av disse gir 21 som svar.

Har også forsøkt å bytte om rekkefølgen av de to siste operatorene til

((a*b)*c)*d=21 (Eks: (7/6)∙(5+1)=7 mens ((7/6)∙5)+1=41/6)

Også i dette tilfellet genererer ikke dataprogrammet noen kombinasjon som gir 21 som svar.

Slik problemet er formulert, er jeg altså ikke i stand til å finne en løsning av problemet.

[Guest]

Snodige greier dette her, hintserveren til boka sier dette om oppgaven:
This one is a real puzzler, and it doesn't even use the operators + and x.
Så det kan jo se ut som om det er en løsning, men at "vi" ikke tolker oppgaven rett.

Uansett får du ha hjertelig takk for forsøket

[knut1]

forkaster mitt forslag... Det beste jeg kunne finne på..

[Guest]

Etter at "Gjest" som introduserte dette problemet kom med hintet om at operatorene kunne begrenses til - og /, har jeg funnet et mulig løsning på dette problemet. Jeg innså at verdien av uttrykket a*b*c*d (der a,b,c,d er sifrene 1, 5, 6, 7 i en eller annen rekkefølge mens * er en av operatorene - og /) avhenger av hvor man setter parantesene. (Innen matematikken sier man i denne sammenheng at - og / ikke er kommutative (i motsetning til ∙ og +), dvs at generelt er a*(b*c)<>(a*b)*c når * er en av de to operatorene - eller /.)

Dermed fant jeg ut at et alternativ jeg ikke hadde undersøkt, var likningen

a*(b*(c*d))=21.

(Tidligere har jeg jo undersøkt likningene (a*b)*(c*d)=21 og ((a*b)*c)*d=21 uten å finne noen løsning.) Dessuten var det i oppgaveteksten sagt c*d og b*(c*d) skulle gi rasjonale men ikke heltallige svar. Dette betyr at operatoren * i c*d må være / (fordi c-d blir et heltall når c og d er heltall). Videre må den første operatoren * i uttrykket a*(b*(c*d)) også være / (hvis den er -, blir a-(b*(c*d))=21, dvs. at b*(c*d)=a-21 blir et heltall). Dermed står vi igjen med to muligheter:

1) 21 = a/(b/(c/d)) = a/(bd/c) = ac/bd eller

2) 21 = a/(b-(c/d)) = a/((bd - c)/d) = ad/(bd - c)

I tilfelle 1 får vi at ac=21bd, så ac er delelig med 21=3∙7. Så a eller c er delelig med primtallet p for p=3,7. Ettersom a,b,c,d er sifrene 1,5,6,7 i en eller annen rekkefølge, ser vi at a=6 og c=7 eller vica verca. Altså blir ac=6∙7=42, hvilket igjen gir bd=ac/21=42/21=2. Dette er umulig i.o.m. at bd=1∙5=5.

I tilfelle 2 er ad=21(bd - c), så ad er delelig med 21. Følger vi samme resonnement som ovenfor, finner vi at a=7 og d=6 eller omvendt. Altså blir bd - c = ad/21 = 6∙7/21 = 42/21 = 2 der b=1 og c=5 eller vica verca.
Nå er bd=c+2, så bd er et oddetall siden c er et av oddetallene 1 eller 5. Herav følger d er oddetall, noe som gir d=7 og a=6. Dermed står vi igjen med likningen 7b=c+2 som helt klart gir oss b=1 og c=5. M.a.o. er a=6, b=1, c=5 og d=7 eneste løsning. Denne kombinasjonen gir

a / (b - (c/d)) = 6 / (1 - (5/7)) = 6 / (2/7) = 6∙7/2 = 42/2 = 21. q.e.d.

[Solar Plexsus]

Ser at jeg hadde glemt å logge meg på da jeg skrev det foregående innlegget! Men skulle noen være i tvil, så er det undertegnede som har forfattet dette innlegget.

Solar Plexsus.