Fundamentalteoremet, del 1

[Aleks855]

Har en oppgave som lyder;

Sketch the area represented by g(x). Then find g'(x) in two
ways: (a) by using Part 1 of the Fundamental Theorem and [...] and then differentiating[tex]g(x) = {\int_1^x}t^2 dt[/tex]

Har skissert grafen, og ved hjelp av virtuositet funnet at den deriverte av en integrert er jo bare funksjonen, så svaret er g'(x)=x[sup]2[/sup]. Føler dog ikke at jeg har forstått prinsippets edlere verdier.

Har jeg forstått det rett hvis jeg sier at vi bare uttrykker arealet som en funksjon av x, der man flytter punktet x langs t-aksen, i stedet for å uttrykke det som et bestemt integral? Er det i så fall bare for å letteregjøre notasjonen, eller har det en videre hensikt?

På forhånd takk!

[Nebuchadnezzar]

Helt riktig fremgangsmåte, ja
Husk at [tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x} \left( \int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\rm{d}t \right)=f(v(x))v^{\prime}(x)-f(u(x))u^{\prime}(x)[/tex]

Har du prøvd å skissere g(x) og g'(x) ?

Riktig det du sier med at vi finner arealet under t^2 fra 1 til x.

Videre hensikt, vet jeg ikke så mye om. Kan jo være greit dersom t^2 ikke integrerbar.

Men du kan likevel derivere uttrykket.

[Aleks855]

Den andre deloppgaven var å bruke andre del av fundamentalteoremet. Den ga mildt sagt litt mer mening, for der erstatter man t med x i forbindelse med at det er et bestemt integral.

Jeg starta med å skissere g(x) som arealet under f(t) i intervallet [1, x]. Siden x var en variabel langs t-aksen måtte jo g'(x) = f(t) vel?