ln og logaritmeregler når base er forskjellig

[gill]

http://bildr.no/view/957569

i teksten over under boksen inverse equation for [tex]a^x[/tex] and [tex]log_a x[/tex]

skriver de først

[tex]a^y=x[/tex] man tar ln på hver side og får:

[tex]y ln a=ln x[/tex]

så vidt jeg ser har man tatt ned power på venstre side etter at man har tatt ln. Jeg har et bevis for å ta ned power ved log:

[tex]x^B=A[/tex] (I)

Og når vi tar log med x som base til A får vi hva vi må opphøye x i for å få A. Dette skrives slik

[tex]log_xA=B[/tex] (II)

Så ganger vi begge sider av ligning (II) med C

[tex]Clog_xA=CB[/tex]

Og vi opphøyer (I) med C på hver side

[tex](x^B)^C=A^C[/tex]

som blir

[tex]x^{BC}=A^C[/tex] (IV)

Så tar vi logaritmen med x som base

[tex]log_x x^{BC}=BC[/tex]

og da ser vi fra (IV) at:

[tex]log_x A^C=BC[/tex]

Og fra (III) ser vi at:

[tex]log_x A^C=BC=C log_x A[/tex]

men denne forklaringen sier jo at man tar log med base som er basen x i (I). Men i teksten tar de ln til et uttrykk med a som base og da går vel ikke den forklaringen jeg har over opp?

Så jeg lurer på om det finnes en forklaring for dette?

[Vektormannen]

Det du har vist er at du kan ta logaritmen med en vilkårlig base x av en potens [tex]A^C[/tex], og at dette vil være det samme som C ganger logaritmen med base x av A. Da har du vist noe som gjelder helt generelt for alle x (alle x det gir mening å snakke om logaritme.) Men da må det jo også spesielt gjelde for [tex]\ln[/tex], som ikke er noe annet enn logaritmen med base [tex]e[/tex]! (Altså, x = e)

[Gustav]

Bruk sammenhengen

[tex]\log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}[/tex]

mellom logaritmer med ulike baser a og b.

Og som Vektormannen sa,

[tex]\ln = \log_e[/tex]. F.eks vil

[tex]\ln(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(e)}[/tex] for enhver base b.