****** faktorisering =D

[Nebuchadnezzar]

Formelen for å løse generelle tredjegradslikninger sier at vi først regner ut [tex]Q[/tex] og [tex]C[/tex] som er gitt under

[tex]Q &= \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2 - 3ac)^3} [/tex]

[tex]C &= \sqrt[3]{\frac{1}{2}\left( Q + 2b^3 - 9abc + 27a^2d \right)} [/tex]

Når vi har regnet ut disse er løsningene gitt ved

[tex]x_1 = -\frac{b}{3a} - \frac{C}{3a} - \frac{b^2 - 3ac}{3aC} [/tex]

[tex]x_2 = -\frac{b}{3a} + \frac{C(1 + i\sqrt{3})}{6a} + \frac{\left( 1-i\sqrt{3} \right) \left( b^2 - 3ac \right) }{6ac} [/tex]

[tex]x_3 = -\frac{b}{3a} + \frac{C(1 - i\sqrt{3})}{6a} + \frac{\left( 1+i\sqrt{3} \right) \left( b^2 - 3ac \right) }{6ac} [/tex]

Phew... Så da bare begynner vi å regne

[tex]Q = \sqrt{(2b^3 - 9abc + 27a^2d)^2 - 4(b^2 - 3ac)^3} [/tex]

[tex] = \sqrt{(2(-4)^3 - 9(1)(-4)(-1) + 27(1)^2(4))^2 - 4((-4)^2 - 3(1)(-1))^3[/tex]

[tex] = 90 \sqrt{-3} [/tex]

[tex]C = \sqrt[3]{\frac{1}{2}\left( Q + 2b^3 - 9abc + 27a^2d \right)} [/tex]

[tex] = \sqrt[3]{\frac{1}{2}\left( 90 \sqrt{-3} + 2(-4)^3 - 9(1)(-4)(-1) + 27(1)^2(4) \right)} [/tex]

[tex] = \sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28} [/tex]

Når vi har regnet ut disse er løsningene gitt ved

[tex]x_1 = \frac{(-4)}{3(1)} - \frac{\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}}{3(1)} - \frac{(-4)^2 - 3(1)(-1)}{3(1)\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}} [/tex]

[tex]x_1 = \frac{4}{3} - \frac{\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}}{3} - \frac{19}{3\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}}[/tex]

Herfra blir det noe inn i granskauen med faktorisering for å forenkle uttrykket over...

[tex]x_1 = \frac{1}{3} \left( 4 - {\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}} - \frac{19}{\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}} \right) [/tex]

[tex]x_1 = \frac{1}{3} \left( \left( \frac{\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}}{\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}} \right) 4 - \left( \frac{\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}}{\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}} \right) {\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}} - \frac{19}{\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}} \right) [/tex]

[tex]x_1 = \frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}} \left( 4\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28} - \left( 45 \sqrt{-3} - 28 \right) - 19 \right)[/tex]

[tex]x_1 = \frac{1}{3\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}} \left( 4\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28} - 45 \sqrt{-3} + 9 \right) [/tex]

Står bom fast [tex]x_1[/tex] skal være lik [tex]-1[/tex].

[Georgio]

Litt nåla i høystakken, men tror feilen ligger i nest siste linje når du ganger sammen
[tex]\sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28} \cdot \sqrt[3]{45 \sqrt{-3} - 28}[/tex]

skal bli lik

[tex](45sqrt(-3)-28)^{2/3}[/tex]

[drgz]

Bruk kalkulator.

[Nebuchadnezzar]

Take 2

[tex] I = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}\sqrt[3]{{45\sqrt { - 3} - 28}} - \frac{{19}}{{3\sqrt[3]{{45\sqrt { - 3} - 28}}}} [/tex]

[tex] I = \frac{1}{3}\left( {4 - \sqrt[3]{{45\sqrt { - 3} - 28}} - \frac{{19}}{{\sqrt[3]{{45\sqrt { - 3} - 28}}}}} \right) [/tex]

[tex] I = \frac{1}{3}\left( {4 - {{\left( {45\sqrt { - 3} - 28} \right)}^{1/3}} - \frac{{19}}{{\sqrt[3]{{45\sqrt { - 3} - 28}}}}\frac{{{{\left( {45\sqrt { - 3} - 28} \right)}^{2/3}}}}{{{{\left( {45\sqrt { - 3} - 28} \right)}^{2/3}}}}} \right) [/tex]

[tex] I = \frac{1}{3}\left( {4 - {{\left( {45\sqrt { - 3} - 28} \right)}^{1/3}} - \frac{{19{{\left( {45\sqrt { - 3} - 28} \right)}^{2/3}}}}{{45\sqrt { - 3} - 28}} \cdot \left( {\frac{{45\sqrt { - 3} + 28}}{{45\sqrt { - 3} + 28}}} \right)} \right) [/tex]

[tex] I = \frac{1}{3}\left( {4 - {{\left( {45\sqrt { - 3} - 28} \right)}^{1/3}} + \frac{1}{{361}}\left( {45\sqrt { - 3} + 28} \right){{\left( {45\sqrt { - 3} - 28} \right)}^{2/3}}} \right) [/tex]

Også gjennstår bare å vise at siste del er det samme som -7

[Nebuchadnezzar]

Okai. Da har jeg revet ut alt jeg har gjort. Og begynt på nytt...

Nå trenger jeg bare å vise at

[tex]r_1 = \frac{4}{3} + \sqrt[3]{\frac{56+90\sqrt{-3}}{54}}+\sqrt[3]{\frac{56-90\sqrt{-3}}{54}}[/tex]

[tex]r_1 = 4[/tex]

Noen som har noen flinke råd?

[Vektormannen]

Jeg prøvde på det med komplekse tall, og det gikk (med mye jobb...) men ble ikke særlig elegant. Hvis du vil prøve på det så er første steg å finne hver av de to tredjerøttene og forkorte det mest mulig (skriv om til trigonometrisk form.) Deretter kan man benytte noen trigonometriske identiteter og ende opp med en ligning for r_1 som vil gi at r_1 = 4. Jeg ser ikke vekk i fra at dette også kan vises ved å gjøre noen sleipe triks :p

(Jeg kan poste hvordan jeg gjorde det når du har fått det til (evt. hvis du bare vil se hvordan det kan gjøres med komplekse tall))

[Nebuchadnezzar]

Vi legger merke til at [tex]54 = 2\cdot3^[/tex]3 og vi legger merke til at vi kan først forkorte litt.

[tex] = \sqrt[3]{{\frac{{56 + 90\sqrt { - 3} }}{{54}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{28 + 45\sqrt { - 3} }}{{{3^3}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{64 + 48\sqrt { - 3} - 36 + 3\sqrt { - 3} }}{{{3^3}}}}}[/tex]

[tex] = \sqrt[3]{{\frac{{{4^3} + 3 \cdot {4^2}\sqrt { - 3} - 3 \cdot 4 \cdot {{\left( {\sqrt { - 3} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt { - 3} } \right)}^3}}}{{{3^3}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{{{\left( {4 + \sqrt { - 3} } \right)}^3}}}{{{3^3}}}}} = \frac{{4 + \sqrt { - 3} }}{3} [/tex]

Med liknende argument kan vi vise at

[tex] = \sqrt[3]{{\frac{{56 - 90\sqrt { - 3} }}{{54}}}} = \frac{{4 - \sqrt { - 3} }}{3}[/tex]

Oppsumerer vi, får vi at

[tex] = \frac{4}{3} + \sqrt[3]{{\frac{{56 - 90\sqrt { - 3} }}{{54}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{56 + 90\sqrt { - 3} }}{{54}}}}[/tex]

[tex] = \frac{4}{3} + \frac{{4 + \sqrt { - 3} }}{3} + \frac{{4 - \sqrt { - 3} }}{3} [/tex]

[tex] = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{12}}{3} [/tex]

[tex]= 4 [/tex]

Vis din løsning og da vektormannen =)

[Vektormannen]

Håhå, sleipeste jeg har sett på lenge

Den lange komplekse tall-løsningen er sånn:

[tex](a+bi)^{\frac{1}{3}} + (a-bi)^{\frac{1}{3}} = [\sqrt{a^2 + b^2}(\cos \theta + i \sin \theta)]^{\frac{1}{3}} + [\sqrt{a^2 + b^2}(\cos \theta - i \sin \theta)]^{\frac{1}{3}}[/tex]
[tex]= (a^2 + b^2)^{\frac{1}{6}}[\cos(\theta/3) + i \sin(\theta / 3)] + (a^2 + b^2)^{\frac{1}{6}}[\cos(-\theta/3) + i \sin(-\theta/3)][/tex]
[tex]= (a^2 + b^2)^{\frac{1}{6}} \cdot 2 \cos(\theta / 3)[/tex]

Her er [tex]a = \frac{56}{54}[/tex] og [tex]b = \frac{\sqrt 3 \cdot 90}{54}[/tex].

Så vi har at

[tex]r_1 - \frac{4}{3} = \left(\frac{1}{54}\right)^{\frac{1}{3}} (56^2 + 3 \cdot 45^2)^{\frac{1}{6}} \cdot 2 \cos(\theta / 3) = \frac{1}{3\sqrt[3]{2}} \cdot (38\sqrt{19})^{\frac{1}{3}} \cdot 2 \cos(\theta/3)[/tex]
[tex] = \frac{\sqrt{19} \cdot \sqrt[3]{2}}{3\sqrt[3]{2}} \cdot 2 \cos(\theta/3) = \frac{2\sqrt{19}}{3} \cos(\theta/3)[/tex]

Nå har vi en trig. identitet som sier at [tex]\cos(3\theta) = 4\cos^3 \theta - 3 \cos \theta[/tex]. Bruker den her og får

[tex]r_1 - \frac{4}{3} = \frac{2\sqrt{19}}{3} \cdot \frac{1}{3} \left[4 \cos^3(\theta/3) - \cos(\theta)\right][/tex].

Men [tex]\cos^3(\theta/3) = \left[\left(r_1 - \frac{4}{3}\right) \cdot \frac{3}{2 \cdot \sqrt{19}}\right]^3 = \left(r_1 - \frac{4}{3}\right)^3 \cdot \frac{27}{8 \cdot 19\sqrt{19}}[/tex],

som gir

[tex]r_1 - \frac{4}{3} = \frac{2\sqrt{19}}{9}\left[4 \cdot \left(r_1 - \frac{4}{3}\right)^3 \cdot \frac{27}{8 \cdot 19\sqrt{19}} - \cos(\theta)\right] = \left(r_1 - \frac{4}{3}\right)^3 \cdot \frac{3}{19} - \frac{2\sqrt{19}}{9}\cos(\theta)[/tex]

Nå kan vi bruke at [tex]\theta = \arctan(b/a)[/tex] som gir at [tex]\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{1 + (b/a)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{3 \cdot 45^2}{28^2}}} = \frac{1}{\frac{19\sqrt{19}}{28}} = \frac{28}{19\sqrt{19}}[/tex].

Det gir en endelig ligning for [tex]r_1[/tex]:

[tex]r_1 - \frac{4}{3} = \frac{3}{19} \left(r_1 - \frac{4}{3}\right)^3 - \frac{2 \cdot 28}{9 \cdot 19}[/tex]

Vi ser at [tex]r_1 = 4[/tex] passer inn i denne ligningen.

Som sagt, stygt og overkomplisert, men det er sånn det blir når man kjører på med traktor/buldosermetoden