Funksjoner

[yaan]

Hei!
Trenger hjelp til følgende oppgave:
f:[-1,1] -> R er en kontinuerlig funksjon slik at f(-1) = f(1) = 0 og f(0) = 1
Vis at det finnes minst to punkter x € [-1,1] slik at f(x) =x^2

Noen som kan hjelpe meg med denne?

På forhånd takk!

[Vektormannen]

Er du kjent med mellomverdisetningen?

Hint: At [tex]f(x) = x^2[/tex] i et punkt er det samme som at funksjonen [tex]g(x) = f(x) - x^2[/tex] har et nullpunkt.

[yaan]

Takk for kjapt svar!

Jeg er dessverre ikke kjent med den setningen, men er underveis med å sette meg inn i den!

[yaan]

Sitter fremdeles fast på denne.

Kunne du ha vist med et eksempel hvordan denne setningen kan brukes i en tilsvarende situasjon?

På forhånd takk!

[Vektormannen]

Ok, flott

Kan godt være dette kan løses på andre måter, men mellomverdisetningen (intermediate value theorem) løser det på en enkel måte.

Det mellomverdisetningen sier er ikke noe annet enn at hvis du har en kontinuerlig funksjon [tex]f[/tex] på et intervall [tex][a,b][/tex] så er det nødt til å finnes et punkt [tex]c \in (a,b)[/tex] slik at [tex]f(a) \leq f(c) \leq f(b)[/tex].

Ta f.eks. funksjonen [tex]f(x) = 2x - 5[/tex]. Siden f(0) = -5 og f(4) = 3 så må det finnes et punkt x = c et eller annet sted på intervallet (0,4) der f(x) f.eks. er lik 1. Det kan jo ikke være mulig for en kontinuerlig funksjon å gå i fra -5 til 3 uten at den er innom 1!

[yaan]

Så langt henger jeg med, men hvordan bruker man dette i praksis til å for eksempel finne hvor f(x) = x^2? når man kun vet at f(-1) = f(1) = 0 og f(0) = 1?

[Vektormannen]

Trikset er som jeg hintet til ovenfor, å lage deg en funksjon [tex]g(x) = f(x) - x^2[/tex]. Hver gang denne har et nullpunkt vil jo [tex]f(x) = x^2[/tex]. Kan du finne g(-1), g(0) og g(1)? Ser du evt. noe da?

[yaan]

g(x) = f(x) - x^2

g(-1) = 0 - (-1)^2 = -1
g(0) = 1 - 0^2 = 1
g(1) = 0 - 1^2 = -1

Er dette riktig?

[Vektormannen]

Det er riktig ja. Hva kan du si om funksjonen g nå da? Du vet at den er -1 i x = -1, og så er den 1 i x = 0. Hvilken verdi må den passere på veien fra -1 til 1 da?

[yaan]

Da må den krysse x-aksen, altså g(x)=0?

[Vektormannen]

Akkurat! Og hva vil det si at g(x) = 0?

På samme måte, hva kan du si på intervallet [0, 1] på x-aksen? I 0 er g(x) = 1, mens i x = 1 er g(x) = -1.

[yaan]

Den vil krysse x-aksen i intervaller [0,1] også. Altså vil den krysse x-aksen 2 ganger. Og jeg regner at jeg med dette da kanskje har vist at det finnes minst to verdier for x € [-1,1] slik at f(x) = x^2?

Men kan jeg komme frem til en eksakt verdi for x slik at f(x) = x^2, eller kan jeg bare vise at det finnes minst to slike verdier?

[Vektormannen]

Nei, det kan du ikke, og det du skal vise er bare at det finnes minst to slike punkter. Du vet jo ingenting om hvordan funksjonen f ser ut, utenom hvilke verdier den har i x = -1, x = 0 og x = 1, så da kan du jo heller ikke finne ut akkurat hvor den får samme verdi som [tex]x^2[/tex].

Det du har bevist nå er at uansett hvordan funksjonen f ser ut (så lenge den har de verdiene som er oppgitt i x = -1, 0 og 1), så må den ha samme verdi som [tex]x^2[/tex] minst to ganger. Du kan tegne en hvor syk kontrinuerlig funksjon du bare vil, men så lenge den har disse verdiene så vil den uansett måtte skjære [tex]x^2[/tex] to ganger.

[yaan]

Tusen takk for hjelpen, virkelig nyttig for meg!

[Vektormannen]

Flott

Det er ofte lurt å tegne figurer når du jobber med slike oppgaver som dette. Hvis du tegner en figur så ser du sikkert at det egentlig "sier seg selv" at det må være minst to sånne punkter. Du klarer ikke å tegne en funksjon som skal starte i 0 i x = -1 og gå opp til 1 i x = 0 uten å krysse [tex]x^2[/tex].

Er du forresten med på tankegangen med å innføre en ny funksjon g(x) slik som du gjorde ovenfor?