Integralet av (sinx)^n

[Betelgeuse]

Hei!
Holder på med kvantemekanikk nå og trenger å vise et resultat her.
Noen påstår at

${\int }_0^{\pi }si{n}^{n}xdx=\frac{n-1}{n}{\int }_0^{\pi }si{n}^{n-2}dx$

men hvordan kommer man frem til dette?

[Aleks855]

At et bestemt integral blir til en konstant ganget med et ubestemt? Eller skal det andre integralet også ha samme grensene?

[Betelgeuse]

Beklager. Det andre integralet skulle også ha de samme grensene.

[Charlatan]

Prøv med delvis integrasjon.

[andsol]

begynner med den engang så trivielle observasjonen ${\sin }^{n}x=\sin x{\sin }^{n-1}x$. Deretter bruker vi delvis integrasjon

${\int }_0^{\pi }\sin x{\sin }^{n-1}xdx={[-\cos x{\sin }^{n-1}x]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos x(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx$

innholdet i klammene blir 0, og uttrykket i det nye integralet kan skrives som ved identiteten ${\sin }^x+{\cos }^{2}x=1$

$(n-1){\int }_0^{\pi }(1-{\sin }^{2}x){\sin }^{n-2}x\text{dx}=(n-1)({\int }_0^{\pi }si{n}^{n-2}xdx-{\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}xdx)$

og da har man en ligning på formen

$I=(n-1)({\int }_0^{\pi }si{n}^{n-2}xdx-I)$

Og resten tar du nok. =)

[Betelgeuse]

Takk skal du ha