Naturlig logaritmeoppgave, R1

[mikki155]

Hallo, igjen. Kom over en oppgave vi fikk i lekse, som ser slik ut:

[tex]2e^x = e^{-x}[/tex]

Da valgte jeg å gå fram på følgende måte:

[tex]2e^x - e^{-x} = 0[/tex]

Vi ganger med [tex]e^x[/tex] og får at:


[tex]2e^{2x} - 1 = 0[/tex]

[tex](e^x)^2 = \frac 1{2}[/tex]

Vi tar kvadratroten og får:

[tex]e^x = +/- \sqrt {\frac 1{2}}[/tex]

Vi bruker den naturlige logaritmen, og får at:

[tex]x = \frac {ln \sqrt {\frac 1{2}}}{ln e}[/tex]

eller

[tex]x = - \frac {ln \sqrt {\frac 1{2}}}{ln e}[/tex]

Eventuelt:

[tex]x = - ln \sqrt {\frac 1{2}}[/tex] eller [tex]x = ln \sqrt {\frac 1{2}}[/tex]

I fasiten har de fått dette svaret:

[tex]x = - \frac {ln2}{2}[/tex]

Fasitsvaret svarer til ett av mine svar, nemlig [tex]x = ln \sqrt {\frac 1{2}}[/tex]

Hvor blir det av det andre svaret? Og hvordan kom de frem til [tex]x = - \frac {ln2}{2}[/tex] ?

Spurte læreren min, men han rakk ikke å finne ut av det.

[Nebuchadnezzar]

Kan du bruke litt enkle logaritmeregler? Det du har gjort er helt riktig, men ditt og fasitsvaret er det samme. Prøv å skriv om den kvadratrota di du

[mikki155]

Takker, nebbu

De har jo løst den på den enkle eller litt pysete måten, vil jeg si ^^

Uansett, her er hvordan jeg kom fram til svaret:

Bruker logaritmeregelen om at [tex]ln (a\cdot b) = ln a + log b[/tex]

Videre:

[tex]ln2 + ln e^x = ln e^{-x}[/tex]

[tex]x \cdot lne = -x \cdot ln e -ln2[/tex]

[tex]2x \cdot lne = -ln2[/tex]

[tex]2x = \frac {-ln2}{lne}[/tex]

[tex]2x = -ln2[/tex]

[tex]x=- \frac {ln2}{2}[/tex]

Når blir mitt andre svar gyldig, og når vet jeg at jeg kan gjøre likninger om til en andregradsfunksjon? Blir det sånn at jeg må da finne nullpunktene, men bare ta med de nullpunktene som gjelder for den originale likningen f. eks.?

[Nebuchadnezzar]

Ja det blir riktig som du sier. Den opprinnelige likningen din er jo

[tex]2e^x = \frac{1}{e^x}[/tex]

Og denne er jo udefinert når [tex]e^x=0[/tex]. Heldigvis skjer dette aldri (kan du si hvorfor?)

Videre så kan jo vi også skrive

[tex]\ln \left( \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \ln \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \right) = {\frac{1}{2}\ln \left( 2^{-1} \right) = - \frac{1}{2} \ln \left( 2 \right)[/tex]

[mikki155]

[tex]e^x[/tex] kan aldri bli 0, da den er en eksponent. Uavhengig av hvilke x-verdier vi setter inn, vil den aldri bli lik 0. Den kan uansett bli svært nærme null når x blir mindre og mindre, f. eks. [tex]e^{-10000000} = \frac {1}{2,718^{10}^7}[/tex] som blir utrolig nærme null.

Skjønte skrivemåten også, og det blir vel nyttig videre i R1 når vi kommer til derrivering osv. i kapittel 8.