Integral - omdreiningslegeme

[Razzy]

Slik må oppgaven bli:



[tex]$$V = {V_1} - {V_2}$$[/tex]

[tex]$$V = 2\pi \left( {\int_0^1 {x \cdot {e^{ - {x^2}}}} - x \cdot 1} \right)\;dx$$[/tex]

Takket være Wolfram ser jeg jo at:

[tex]$${V_2} = 2\pi \int_0^1 {x \cdot 1} \;dx \approx \underline {3.14} $$[/tex]

Som forteller meg at det er mye større enn det jeg fant tidligere (passer bra med oppgaven). Her har jeg jo brukt y=1 som funksjon for å bestemme rotasjonsarealet av hele firkanten.

Ser dette riktig ut?

Edit: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2p ... rom+0+to+1 (kopier hele linken)

Her har vi den

[Integralen]

En kurve har ligningen [tex]$y = {e^{ - {x^2}}}$[/tex] La F være flaten avgrenset av kurven og linjene [tex]$x = 1{\rm{ og }}y = 1.$[/tex]

Regn ut volumet av omdreiningslegemet som framkommer når F roterer [tex]${360^ \circ }$[/tex] om y-aksen.

[tex]2 \pi \int_{0}^{1}x(1-e^{-x^2})dx=\frac{\pi}{e}[/tex]

[Razzy]

En kurve har ligningen [tex]$y = {e^{ - {x^2}}}$[/tex] La F være flaten avgrenset av kurven og linjene [tex]$x = 1{\rm{ og }}y = 1.$[/tex]

Regn ut volumet av omdreiningslegemet som framkommer når F roterer [tex]${360^ \circ }$[/tex] om y-aksen.

[tex]2 \pi \int_{0}^{1}x(1-e^{-x^2})dx=\frac{\pi}{e}[/tex]

[tex]$$2\pi \int_0^1 x (1 - {e^{ - {x^2}}})dx \Leftrightarrow 2\pi \int_0^1 {(x - {e^{ - {x^2}}})} dx$$[/tex]

Flott! Tenkte du også slik:

[mstud]

En kurve har ligningen [tex]$y = {e^{ - {x^2}}}$[/tex] La F være flaten avgrenset av kurven og linjene [tex]$x = 1{\rm{ og }}y = 1.$[/tex]

Regn ut volumet av omdreiningslegemet som framkommer når F roterer [tex]${360^ \circ }$[/tex] om y-aksen.

[tex]2 \pi \int_{0}^{1}x(1-e^{-x^2})dx=\frac{\pi}{e}[/tex]

[tex]$$2\pi \int_0^1 x (1 - {e^{ - {x^2}}})dx \Leftrightarrow 2\pi \int_0^1 {(x - {e^{ - {x^2}}})} dx$$[/tex]

Flott! Tenkte du også slik:

Razzy!!! *PEKER PÅ FIGUREN DIN* Ser du forskjell på:

[tex]2\pi \int_0^1 (x \cdot e^{-x^2} - x \cdot 1)dx[/tex] (Dette er arealet av den grå delen minus arealet av hele firkanten og blir følgelig feil) Den gule formen på figuren har ikke negativt areal.

[tex]2\pi \int_0^1 (x \cdot 1 - x \cdot e^{-x^2} )dx[/tex] Dette er riktig, her har vi volumet av omdreiningslegemet til "arealet av hele firkanten minus arealet av den grå delen på figuren din" Dette er omdreiningslegemet til den gule delen av din figur...

Skjønte du dette?

Altså integralet du foreslo har negativ verdi... Noe vi vet er umulig Negative arealer og volumer eksisterer ikke. Prøv å se for deg en kule med negativ radius, , Volumet av kulen blir likevel ikke negativt.

Integralen har riktig integral... Når du dreier det gule arealet rundt y-aksen får vi [tex]$$2\pi \int_0^1 x (1 - {e^{ - {x^2}}})dx \Leftrightarrow 2\pi \int_0^1 {(x - {e^{ - {x^2}}})} dx$$ =\frac{\pi}{e}[/tex]


PS:Beklager at jeg ikke så tidligere at arealet var avgrenset av x=1 og y=1 og grafen, men ikke x-aksen og y-aksen...

Det jeg er mest vant med er arealet er avgrenset av grafen, x-aksen og x=1, så derfor lot jeg meg lure... og sjekket bare om du hadde regnet ut integralet riktig, ikke om du hadde regnet ut riktig integral...