Hei.
Jeg forsøker å forstå beviset for L'Hospital 1, men henger ikke helt med på en liten del av beviset.
Så vi har:
Let [tex]-\infty \leq a < b \leq \infty[/tex] and let [tex]f[/tex], [tex]g[/tex] be differentiable on [tex](a,b)[/tex] such that [tex]g^\prime(x) \neq 0[/tex] for all [tex]x \in (a,b)[/tex]. Suppose that
[tex]\lim_{x \to a+}f(x) = 0 = \lim_{x \to a+}g(x)[/tex].
If [tex]\lim_{x \to a+}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} = L \in \mathbb{R}[/tex], then [tex]\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = L[/tex].
BEVIS:
If [tex]a < \alpha < \beta < b[/tex], then Rolle's Theorem implies that [tex]g(\beta) \neq g(\alpha)[/tex]. Further, by the Cauchy Mean Value Theorem, there exists [tex]u \in (\alpha, \beta)[/tex] such that
[tex]\frac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta) - f(\alpha)} = \frac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}[/tex].
If [tex]L \in \mathbb{R}[/tex] and [tex]\epsilon > 0[/tex] is given, there exists [tex]c \in (a,b)[/tex] such that
[tex]L - \epsilon < \frac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)} < L + \epsilon[/tex] for [tex]u \in (a,c)[/tex],
whence it follows that
[tex]L - \epsilon < \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta) - g(\alpha)} < L + \epsilon[/tex] for [tex]a < \alpha < \beta \leq c[/tex].
If we take the limit in this expression as [tex]\alpha \to a+[/tex], we have
[tex]L - \epsilon \leq \frac{f(\beta)}{g(\beta)} \leq L + \epsilon[/tex] for [tex]\beta \in (a, c][/tex].
Since [tex]\epsilon > 0[/tex] is arbitrary, the assertion follows.
OK, her er jeg med på nesten hele beviset. Det eneste jeg ikke forstår er det aller siste man gjør her, slik at man får [tex]L - \epsilon \leq \frac{f(\beta)}{g(\beta)} \leq L + \epsilon[/tex] for [tex]\beta \in (a, c][/tex]. Det er selve ulikheten jeg er usikker på - jeg ser jo selvsagt at når [tex]\alpha \to a+[/tex] så vil [tex]f(\alpha) \to 0[/tex] og [tex]g(\alpha) \to 0[/tex]. Men hva er det som gjør at vi får [tex]\leq[/tex] heller enn [tex]<[/tex] i den aktuelle ulikheten? Jeg klarer ikke å se dette, så jeg setter ekstremt stor pris på om noen kan forklare dette for meg.
Bevis for L'Hospital
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
