AM-GM

[Hoksalon]

[tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y}[/tex]

For alle positive verdier av y og x

Jeg trenger egentlig et bevis for at dette stemmer, med unntak av å finne fellesnevner og regne ut ved hjelp av AM-GM denne veien (det er andre måter, ikke sant?). Grunnen er at jeg har møtt på en annen oppgave hvor jeg skal bruke dette beviset, men det hadde kommet til å ta meg hele kvelden å finne fellesnevneren og regne det ut Tror også at jeg gjør det en del vanskeligere enn det egentlig er.

EDIT:
[tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y}[/tex]

[tex]\frac {x^2+2xy+y^2}{x^2y+xy^2} \ge \frac{4xy}{x^2y+y^2x}[/tex]

[tex]x^2-2xy+y^2 \ge 0[/tex]

[tex](x-y)^2 \ge 0[/tex]

Dette er beviset mitt. (Jeg må altså ha et _annet_ bevis enn dette). Takk på forhånd

EDIT2: Kanskje det ikke finnes et enklere bevis likevel...

[Vektormannen]

Du kan vel gjøre noe sånt: [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy} \geq \frac{4}{x+y} \ \Leftrightarrow \ (x+y)^2 - 4xy \geq 0[/tex] osv. Det blir nesten det samme som du gjorde, men litt mindre komplisert algebra.

[Hoksalon]

Jeg skjønner ikke hvordan

[tex]\frac{x+y}{xy} \geq \frac{4}{x+y}[/tex]

Jeg får dette:

[tex]\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \geq \frac{2}{xy}[/tex]

[Vektormannen]

Hvordan får du det?

Altså, det eneste jeg har gjort er å skrive om [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y}[/tex] til [tex]\frac{x+y}{xy}[/tex].

Det må nevnes at i både min og din bevisføring så er bevisene kun gyldige fordi ulikhetene i hvert steg er ekvivalente. I ditt bevis er det eksempelvis implikasjonene fra siste linje og oppover som beviser påstanden. Det er litt viktig å passe på det. I noen tilfeller kan det jo nemlig være slik at du starter med påstanden du skal bevise og jobber deg fremover til du oppnår noe du vet er sant (slik du gjorde ovenfor), men på veien kan du da ha gjort et steg som gjør at det ikke lenger er ekvivalens mellom den nye ulikheten og de forrige. Da kan du ikke lenger slutte at påstanden er sann fordi det du kom frem til er sant!

[Hoksalon]

Hvordan får du det?
Wups, er en feil der.
Altså, det eneste jeg har gjort er å skrive om [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y}[/tex] til [tex]\frac{x+y}{xy}[/tex].

Skjønner det, men skjønner ikke hvordan du kommer fram til at
[tex]\frac{x+y}{xy} \geq \frac{4}{x+y}[/tex]

når jeg med AM-GM finner ut at

[tex]\frac{x+y}{xy} = \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \geq 2 \times \frac{1}{\sqrt{xy}}[/tex]

Noe som er veldig forskjellig fra det jeg skal finne

[Vektormannen]

Det beviset mitt er utført på samme måte som du gjorde ditt, dvs. at du begynner med [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/tex] og kommer frem til noe som opplagt er sant, dvs. i ditt tilfelle [tex](x-y)^2 \geq 0[/tex]. Jeg antar det er slik du har tenkt? Det er jo i alle fall ført på en slik måte. Siden det nederste er sant, er også det øverste sant. Mitt bevis er gjort på samme måte, så jeg har ikke kommet frem til at [tex]\frac{x+y}{xy} \geq \frac{4}{x+y}[/tex], jeg har bare tatt utgangspunkt i [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/tex] og satt leddene på venstre side på felles brøkstrek.

[Vektormannen]

Jeg er litt usikker på hva du egentlig spør om i den første posten. Hvorfor trenger du et annet bevis, og skal beviset ikke benytte seg av AM-GM? For hvis det kan anta AM-GM som kjent så vet du jo at [tex]\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}[/tex]. Kvadrerer du ulikheten så har du omtrent resultatet med en gang.

I hvilken sammenheng er det dette oppstår egentlig? AM-GM er vel ikke noe som tas opp på videregående såvidt jeg vet.

[Hoksalon]

Det er fra en bok om ulikheter. Beviset kan benytte seg av AM-GM, men jeg finner det veldig tungvindt.

Jeg skal egentlig bruke

[tex]\frac{x+y}{xy} \geq \frac{4}{x+y}[/tex]

Til å bevise at

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})[/tex]

Men når jeg ser nøyere etter, så burde jeg heller ha delt ulikheten opp i tre deler, og utføre [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/tex] på alle sammen. Jeg tror jeg tenkte noe lignende som å finne fellesnevneren i hele ulikheten og deretter bruke dette eller noe lignende, ble litt usikker på hvordan jeg tenkte.

Jeg ser på dette som oppklart nå, takk så meget

EDIT: Problemet har vel stort sett å implementere [tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/tex] inn i ulikheten.

[Vektormannen]

Jeg vil da egentlig si at det er minst tungvint ved å bruke AM-GM? Da får man jo direkte at [tex]\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy \ \Rightarrow \ \frac{x+y}{xy} \geq \frac{4}{x+y} \ \Rightarrow \ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/tex].

Har du fått til det du skal vise forresten? Hvis ikke er et hint å se på [tex]2\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)[/tex].

[Hoksalon]

Nei, det er ikke tungvindt, men jeg tenkte at jeg skulle bruke AM-GM på hele venstresiden.

Jeg løste oppgaven nå ved å gjøre slik du gjør. Da får jeg [tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}+\frac{1}{c} \geq \frac{2}{a+b} +\frac{2}{b+c}+\frac{2}{a+c}[/tex].

Dette deler jeg opp i tre ulike "deler" slik at jeg kan bevise for [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}[/tex].

Hovedproblemet har ligget i at jeg ikke så at jeg kunne dele det opp i tre deler. Når løsningsforslaget oppfordret til [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}[/tex], tenkte jeg at jeg skulle bruke dette på alt sammen, på en eller annen måte. Derfor laget jeg liksom dette emnet, men nå ser jeg jo selvfølgelig at dette ikke var nødvendig

[Brahmagupta]

Et annet bevis for den opprinnelige ulikheten følger også direkte fra AM-HM ulikheten:

[tex]\frac{x_1+x_2+...+x_n}n\geq \frac{n}{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+...+\frac1{x_n}}[/tex]
Setter [tex]n=2, x_1=\frac1a og x_2=1b[/tex]

[tex]\frac{\frac1a+\frac1b}2\geq \frac2{a+b} [/tex]