Invers

[BentCore]

La g(x) være omvendtfunksjonen (den inverse) til
f(x) = x5 - 3x3 + 5x + 1.
Da er g'(1) lik = ?

Står HELT fast :/ Hvordan skal man få uttrykt den inverse når man har et polynom?

D:

[Vektormannen]

Husk på hva inversfunksjonen er. For hvert tall du gir den finner den hvilken x-verdi du måtte sette inn i den opprinnelige funksjonen for å få denne verdien ut. Når du skal finne [tex]g(1) = f^{-1}(1)[/tex] så spør du altså etter "hvilken x måtte jeg sette inn i f(x) for å få ut 1?". Kan du klare å finne den x-en? Det er altså ikke nødvendig å finne et generelt uttrykk for [tex]g(x)[/tex]!

[BentCore]

Hmm, nei. Det står (jeg kopierte i stad) følgende:

La g(x) være omvendtfunksjonen til f(x) = x^5 - 3x^3+5x+1

Da er g derivert av 1 lik

A: 3
B: 1
C:1/3
D:1/5

Jeg tenkte at jeg kunne finne den deriverte av f(x) og så sette inn 1. Deretter delte jeg 1 på f derivert av 1, fordi det lignet veldig på en formel i boka(calculus 1 NTNU edition).

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100/msp.pdf

Vet ikke om linken fungerer for deg, men det er i så fall oppgave 4

[Vektormannen]

Aiai, jeg beklager, leste ikke oppgaven riktig!

Det du skal finne er altså den deriverte til inversen til f i punktet x = 1. Da kan du bruke følgende, som du sikkert er kjent med: [tex](f^{-1})^\prime = \frac{1}{f^\prime(f^{-1}(x))}[/tex], som i denne oppgaven kan skrives som [tex]g^\prime(x) = \frac{1}{f^\prime(g(x))}[/tex]. Det du mangler da er [tex]g(1)[/tex]. Da må/bør du gå frem som jeg forklarte ovenfor. Jeg kan ta å ordne på teksten.

[BentCore]

Arrgh, jeg blir ikke klokere på det. Det med inverser er egentlig ganske vanskelig, og jeg synes ikke det er så godt forklart i læreboken. Kunne jeg be deg om tjenesten å vise meg hvordan man gjør det?

[Vektormannen]

Jeg antar du sitter fast når du skal finne g(1)? Det g(1) gir oss er hvilken x-verdi vi må putte inn i f(x) for å få ut 1. Altså -- vi vet at f(x) = 1 for en x, og vi må finne hvilken. Det kan vi gjøre ved å løse ligningen [tex]f(x) = 1[/tex]. Klarer du å løse den? Da har du jo nettopp funnet hvilken x-verdi som gir funksjonsverdi 1. Denne x-verdien vil da være funksjonsverdien vi får ut av inversfunksjonen [tex]g[/tex].

[BentCore]

Hmm. Okei, ja, jeg ser en umiddelbar løsning, x = 0. Skal jeg da sette inn denne i formelen?

g'(1) = 1 / f ' ( g(0) ) eller skal jeg skrive det som

g'(1) = 1 / f'(1) ?

[Vektormannen]

Nei, hvor får du det siste der i fra? Formelen sier [tex]g^\prime(1) = \frac{1}{f^\prime(g(1))}[/tex]. Nå har du funnet ut at g(1) = 0, ikke sant? Du har funnet at for x = 0 så er f(x) = 1, så da må g(1) = 0. Setter du inn i formelen får du da at [tex]g^\prime(1) = \frac{1}{f^\prime(0)}[/tex]. Finnes det forresten andre x som er løsning på ligningen? Hvis det er det så har du et problem, ikke sant?

[BentCore]

Hvis det er flere x'er som løser likningen er det ingen invers, men det problemet kan jeg egentlig avfeie når jeg får fire svaralternativer der ingen av alternativene inneholder "ingen løsning". Uansett kan jeg vel være rimelig sikker på at det ikke er tilfelle, siden jeg har en polynom av høy grad? Eller er det en antakelse som er helt på trynet?

Ja, jeg skjønte den formelen nå! g'(1) = 1/f'(0) , fordi f(0) = 1. Synes det var ganske komplisert, egentlig.

Tusen hjertelig takk, du reddet kvelden min!

[Vektormannen]

Flott! Det er litt innviklet ja, men det synker nok inn etter hvert.

Det er helt riktig at det da ikke kunne vært noen invers dersom det var flere løsninger, men at polynomet er av høy grad er ikke akkurat forklaringen. Når du løser ligningen så får du at enten x = 0, som du så, eller at [tex]x^4 - 3x^2 + 5 = 0[/tex]. Den sistnevnte ligningen har ingen reelle løsninger siden [tex](-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -11 < 0[/tex] (uttrykket under rottegnet om du bruker andregradsformelen.)

[BentCore]

Jeg skjønte alt, bortsett fra det du gjorde for å si at x^4 - 3x^2 + 5 = 0
ikke har noen reelle løsninger. Men det er kanskje ikke pensum for meg som går i første årstrinn?

[Janhaa]

Jeg skjønte alt, bortsett fra det du gjorde for å si at x^4 - 3x^2 + 5 = 0
ikke har noen reelle løsninger. Men det er kanskje ikke pensum for meg som går i første årstrinn?

den har komplekse løsninger
sett
[tex] u = x^2[/tex]

[tex]u^2 - 3u + 5 = 0[/tex]