Egenvektor

[Jerry]

Jeg har en matrise A:

Code: Select all

3  0
8 -1

som jeg skal finne egenvektoren til, jeg har funnet egenverdiene, ved hjelp av den karakteristiske ligningen, de er, λ = 3 og -1. Kjenner sammenhengen det(λI -A)=0 og (λI -A)*v = 0

Hvordan finner jeg egenvektorene?

[Solar Plexsus]

Du finner egenvektorene v=[x y][sup]t[/sup] (v er altså den transponerte av 1x2-matrise [x y]) ved å etter tur å sette inn de to egenverdiene i det lineære likningssystemet

(λI - A)v = 0

(λ-3......0) (x) = (0)
( -8...λ+1) (y) = (0)

Settes λ=3, får vi at

( 0...0) (x) = (0)
(-8...4) (y) = (0)

som gir -8x+4y=0, dvs. y=2x. Så egenvektoren tilhørende egenverdien 3 blir v=[1 2][sup]t[/sup] p der p er vilkårlig tall <>0.

Settes λ=-1, får vi at

(-4...0) (x) = (0)
(-8...0) (y) = (0)

som gir -4x=0 og -8x=0, dvs. x=0. Så egenvektoren tilhørende egenverdien -1 blir v = [0 1][sup]t[/sup] q der q er et vilkårlig tall <>0.

[Jerry]

Skjønner det meste, bortsett fra at for lamda = -1, så blir y = 1, altså dette: "gir -4x=0 og -8x=0, dvs. x=0. Så egenvektoren tilhørende egenverdien -1 blir v = [0 1] transponert."

Hva er tanken bak det?

[Solar Plexsus]

Når λ=-1, får vi likningssystemet -4x + 0y = 0 og -8x + 0y = 0. Altså må x=0 og y=q der q er et vilkårlig tall. Egenvektoren tilhørende egenverdien -1 blir dermed v = [x y][sup]t[/sup] = [0 q][sup]t[/sup] = [0 1][sup]t[/sup] q.