Integrasjon med variabelskifte

[jtoe]

Hei,

Sliter med en oppgave som er som følger:
[symbol:integral] x [symbol:rot] (x-1) dx

Det er gitt i oppgaven at u = (x-1)..

Er det noen som kan forklare meg fremgangsmåten på denne??

[Nebuchadnezzar]

Se litt i videregående forumet, der ligger det en tråd om integrasjon.

Kort sat bytter du ut x-1 med u.

Også bytter du ut dx med k*du der k er 1/u'

så integrerer du u

så bytter du tilbake

Ble litt kort og rotete men står greit forklart i den andre tråden.

[gill]

grunnen til at du deler på u' er at for å derivere en funksjon som har en kjerne som x-1 må du gange med denne kjernen. Og å integrere er det motsatte av å derivere. Bevis for slik derivering som kalles kjerneregelen er her


http://bildr.no/view/1007445

men beviset fordrer at du kan linearisering som er en approksimering av en funksjon rundt et punkt [tex]x_0[/tex] ved å bruke den deriverte ganget med en liten forskjell av x som approksimasjon av verdien til en funksjon rundt det punktet [tex]x_0[/tex]
dette blir nøyaktig nok når det er små avstander av x på x-aksen man ganger med den deriverte i punktet [tex]x_0[/tex]. Denne lille avstanden på x-aksen kan noteres som:


[tex]\Delta x=x-x_0[/tex]



siden den starter alltid fra [tex]x_0[/tex]

siden linearisering er en approksimering tar man høyde for det i beviset ved å benytte seg av feilmargin gitt ved [tex]\eps[/tex]

I beviset er det slik at f er funksjon av u mens u er funksjon av x og linearisering er brukt for både f(u) og u(x)

[jtoe]

Takker for svar

Jeg tror jeg har en grunnleggende forståelse av virkemåten til generell substitusjon, men gitt oppgave har jeg store problemer med, og trenger gjerne teskje metoden for å forstå hvordan oppgaven løses.

Jeg har forsøkt følgende:
Når en tar du/dx (x-1) fører dette til du = dx altså [symbol:integral] x [symbol:rot] u du ... Her kommer problemet med at jeg ikke får bort xén i funksjonen..

I følge fasit skal integeralet bli [symbol:integral] u* [symbol:rot] u + [symbol:rot] u
Her forstår jeg ikke hvordan - kan bli til + ...?

[Nebuchadnezzar]

Leste du litt i den tråden jeg bad deg om ?

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 10&start=0

Står akkuratt forklart hvorfor der... Under substitusjon...

Et variabelskifte blir gjort for å forenkle et integral. Vi forandrer en variabel til en annen variabel. Ofte fra x til u.

Når vi gjør dette må vi også bytte ut den gammle integrasjonsvariablen til den nye. For eksempel dx med du.

Det vi også må huske på er at vi kan kun integrere det nye uttrykket om det kun består av konstanter og den nye variablen vår.

for eksempel står du igjen med

[tex]\int x \sqrt{u}\,du[/tex]

Du gjorde en substitusjon i begynnelsen

[tex]u = x + 1[/tex]

Da kan du gjøre enda en substitusjon hvor du finner en sammenheng mellom u og x

[tex]u = x + 1 \Rightarrow u - 1 = x \Rightarrow x = u - 1[/tex]

Trikset er at vi bytter ut [tex]x[/tex], med et uttrykk for [tex]u[/tex]

Klarer du resten nå ?

[jtoe]

Ja da ble det hele klarere, når jeg først stopper opp trenger jeg somregel teskjemetoden i praksis fremfor generelle definisjoner.

Tusen takk