Løsningsforslag:
a)
[tex]$$\vec{AB} = \left[ {4 - 2,1 - 4,2 - 1} \right] = \underline{\underline {\left[ {2, - 3, - 1} \right]}} $$[/tex]
[tex]$$\vec{AC} = \left[ {6 - 2,4 - 4,0 - 1} \right] = \underline{\underline {\left[ {4,0, - 1} \right]}} $$[/tex]
[tex]$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \left[ {2, - 3, - 1} \right] \cdot \left[ {4,0, - 1} \right]$$[/tex]
[tex]$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \left( {2 \cdot 4 + \left( { - 3} \right) \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right)} \right)$$[/tex]
[tex]$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 8 + 0 + 1 = \underline{\underline 9} $$[/tex]
[tex]$$\vec{AB} \times \vec{AC} \Rightarrow \underline{\underline {\left[ {3,6,12} \right]}} $$[/tex]
[tex]$$\cos \angle \left( {\vec{AB} ,\vec{AC} } \right) = {{\vec{AB} \cdot \vec{AC} } \over {\left| {\vec{AB} } \right| \cdot \left| {\vec{AC} } \right|}}$$[/tex]
[tex]$$\cos \angle \left( {\vec{AB} ,\vec{AC} } \right) = {9 \over {\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{4^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}$$[/tex]
[tex]$$\angle \left( {\vec{AB} ,\vec{AC} } \right) = {\cos ^{ - 1}}\left( {{9 \over {\sqrt {238} }}} \right) \approx \underline{\underline {54.31^\circ }} $$[/tex]
b)
Velger [tex]$$\vec{n} = \left[ {3,6,12} \right]$$[/tex] og punkt [tex]$$A\left( {2,4,1} \right)$$[/tex]
[tex]$$\alpha :\;a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$\alpha :\;3\left( {x - 2} \right) + 6\left( {y - 4} \right) + 12\left( {z - 1} \right) = 0$$[/tex]
[tex]$$\alpha :\;3x - 6 + 6y - 24 + 12z - 12 = 0$$[/tex]
[tex]$$\alpha :\;3x + 6y + 12z - 42 = 0$$[/tex]
[tex]$$\underline{\underline {\alpha :\;x + 2y + 4z - 14 = 0}} $$[/tex]
c)
Bruker parameterfremstilling for rett linje formelen, punktet [tex]$$D\left( {1,2,-3} \right)$$[/tex] og [tex]$$\vec{n} = \left[ {3,6,12} \right]$$[/tex]
[tex]$$x = {x_0} + at$$[/tex]
[tex]$$y = {y_0} + bt$$[/tex]
[tex]$$z = {z_0} + ct$$[/tex]
Som gir:
[tex]$$x = 1 + 3t$$[/tex]
[tex]$$y = 2 + 6t$$[/tex]
[tex]$$z = - 3 + 12t$$[/tex]
Vi setter inn i ligningen for planet alfa:
[tex]$${\alpha :\;x + 2y + 4z - 14 = 0}$$[/tex]
[tex]$$\alpha :\;\left( {1 + 3t} \right) + 2\left( {2 + 6t} \right) + 4\left( { - 3 + 12t} \right) - 14 = 0$$[/tex]
[tex]$$\alpha :\;63t = 21 \Rightarrow \underline {t = {1 \over 3}} $$[/tex]
Variabelen t må ha denne verdien for at x,y og z skal ligge i planet alfa. Vi finner koordinatene til skjæringspunktet ved å sette inn i parameterframstillingen:
[tex]$$x = 1 + 3\left( {{1 \over 3}} \right)$$[/tex]
[tex]$$y = 2 + 6\left( {{1 \over 3}} \right)$$[/tex]
[tex]$$z = - 3 + 12\left( {{1 \over 3}} \right)$$[/tex]
[tex]$$x = 2\; \wedge \;y = 4\; \wedge \;z = 1$$[/tex]
Skjæringspunktet har koordinatene:
[tex]$$\underline{\underline {S = \left( {2,4,1} \right)}} $$[/tex]
Kommentar: Dette virket som runde og fine tall, kan vi ikke bare si at dette er riktig? "Flott Razzy"
Uten at jeg egentlig synes det burde være slik ... men det er jo heller ikke noen som har spurt meg om 
. Og når jeg da fikk (oppg. 1 c) implikasjon og ikke ekvivalens, tenkte jeg at jeg fikk den motsatte varianten.
(Og flott at du var klar over følgene av en feil vektorkoordinat i oppgaven)