Vise at integral er strengt voksende

[simher]

Funksjonen F : R → R er definert ved
F (x) = [symbol:integral] f(t) dt
b= x
a = 0
c) Vis at F er en strengt voksende funksjon og at F (−x) = −F (x) for
alle x.

har funksjonen arctan x/x ulik 0 og 1 lik 0

noen som vet hvordan jeg skal gå frem?

[Vektormannen]

Hva vet du om den deriverte når F er strengt voksende?

Når det gjelder F(-x) = -F(x), så må du nesten bare se på hva du får når du setter inn -x i funksjonen. Da får du: [tex]F(-x) = \int_0^{-x} f(t) dt[/tex]. Kan du se en substitusjon her som gjør at du får samme integral som i [tex]F(x)[/tex]?

[hovi91]

Du viser at F er strengt voksende ved å vise F' > 0.
Da lager du deg et fortegnskjema eller noe.

[Damihu]

Hva vet du om den deriverte når F er strengt voksende?

Når det gjelder F(-x) = -F(x), så må du nesten bare se på hva du får når du setter inn -x i funksjonen. Da får du: [tex]F(-x) = \int_0^{-x} f(t) dt[/tex]. Kan du se en substitusjon her som gjør at du får samme integral som i [tex]F(x)[/tex]?

Hva mener du?

[Vektormannen]

Det vi ønsker å vise er at F(-x) = -F(x). Da må vi se om vi i uttrykket for F(-x) kan få igjen det samme integralet som er i F(x). Hvis vi lar [tex]u = -t[/tex] så får vi at [tex]du = -dt[/tex]. Nedre grense i integralet blir u = -0 = 0 og øvre grense blir u = -(-x) = x. Vi får altså: [tex]F(-x) = \int_0^{-x} f(t) dt = \int_0^x f(-u) (-du) = -\int_0^x f(-u) du[/tex]. Hva kan du/dere si om f(-u)? Hva blir i såfall integralet lik?

[Damihu]

Det blir lik -F(x)? Eller må jeg sette inn -t for u?

[Vektormannen]

Jeg redigerte posten min ovenfor rett før du postet. Jeg hadde skrevet f(u) i stedet for f(-u). Men hva er f(-u) lik?

[Damihu]

Der ga det litt mer mening! Det blir lik -F(x)! Takk, nå forsto jeg dette litt bedre!

[Damihu]

Kan jeg spørre om en ting til?

Hvordan skal man vise grenseverdien til F(x) når x går mot uendelig?

Kan jeg bare si at siden F(x) er strengt voksende må grenseverdien gå mot uendelig?

[Vektormannen]

Det er nok ja! (Du må selvfølgelig også vise at den er strengt voksende hvis du ikke har det.)

[Damihu]

Hvordan kan jeg vise at den samme funksjonen er konkav for intervallet [0,uendelig)?

Er vanskelig å prøve å gjennomføre regnestykket som skal bevise at den er konkav på dette intervallet... Siden arctan(x)/x er vanskelig å integrere...

[Vektormannen]

Hvorfor har du lyst til å integrere da?

Hvis du vil vise at en funksjon er voksende så er det nok å vise at den deriverte er positiv. Husk at den deriverte gir stigningstallet til tangenten til funksjonen. Hvis tangenten hele tiden har positivt stigningstall må funksjonen være økende, ikke sant?

EDIT: Eller var det en ny oppgave å vise at den er konkav?

[wiiw]

Hei! Sliter med samme oppgave.

Man skal vise at F er konkav på [0,[symbol:uendelig])

[Vektormannen]

Hva vet du om den dobbeltderiverte dersom funksjonen er konkav?

[wiiw]

Negativ dobbelderivet vender den hule side ned.

Så man må dobbeltderivere

[symbol:integral] (oppe: x, nede: 0) f(t)dt

?