Separabel differensligning

[Oddis88]

[tex]\frac{dy}{dt}=h(y)g(t)[/tex]

[tex]y^,=yx[/tex]

[tex]\int\frac {y^,}{y}=\int{x}[/tex]

Der x=lambda

[tex]\int{x} = \frac{1}{2}x^{2} +b[/tex]

[tex]\int\frac{y^,}{y}= -\frac {1}{-y^{-1}} +a[/tex]

b-a=c

[tex]-y=\frac{1}{2}x^{2} +c[/tex]

Vil dette være den generelle løsningen til diff.ligningen? Hvis ikke hvor går ting til skogs?

Lenge siden sist

[wingeer]

Ikke helt. Du har integrert feil. Husk at:
[tex]\int \frac{dy}{y}=ln(y)+C[/tex].

[Oddis88]

Men da er jeg igjenn litt usikker -,- får jeg:

[tex]y=Ce^{\frac {x^2}{2}}[/tex]

eller

[tex]y=C+e^{\frac {x^2}{2}}[/tex]

[wingeer]

hvorfor blir du usikker? Nøyaktig hvilket steg av utledningen?
Uansett er den øverste av de to riktig.

[Oddis88]

jeg blir usikker fordi jeg ikke vet når jeg skulle legge til C

ln (y) +a = 1/2x^2 +b

a-b = c

[tex]y=e^{(1/2)x^2}+c[/tex]

Dette blir det logiske steget for meg. At jeg legger til konstanten c når utregning er ferdig.

Men hvorfor blir det ikke slik?

og x= lambda som er en konstant. skal ikke disse utenfor integrasjonen?

[wingeer]

Husk at du tar eksponenten av en sum.
[tex]ln(y)=a+b \Leftrightarrow y = e^(a+b)[/tex]. Ser du videre her hvordan det blir da?
Dersom x er en konstant skal den utenfor integralet, ja. Jeg antok uten videre at y er en funksjon av x (som det ofte er), men det trenger det jo aldeles ikke være. Dersom y er en funksjon av noe som helst annet enn lambda(si t) vil du få:
[tex]y=e^{\lambda t + C}[/tex]