Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Moderatorer: Vektormannen , espen180 , Aleks855 , Solar Plexsus , Gustav , Nebuchadnezzar , Janhaa
Integralen
von Neumann
Innlegg: 525 Registrert: 03/10-2010 00:32
31/10-2011 17:30
Oppgave
a)
Formelen er gitt:
[tex]\int_{0}^{x} e^{at} cos(bt) dt= \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}[a cos(bx)+bsin(bx)]-\frac{a}{a^2+b^2}[/tex]
for alle reelle tall a, b ulik 0.
b)Bruk formelen i a) til å beregne
[tex]\int_{0}^{x} e^{at} cos^2 (t) dt[/tex].
Kan noen løse denne oppgaven og vise hvordan den kan bli løst?
På forhånd takk!
Integralen
von Neumann
Innlegg: 525 Registrert: 03/10-2010 00:32
31/10-2011 18:43
Vi har at:
Integralen
von Neumann
Innlegg: 525 Registrert: 03/10-2010 00:32
31/10-2011 20:16
Du sikter til identiteten
:
[tex]cos^2(x)=\frac{1}{2}(cos(2x)+1)[/tex]
Dermed:
[tex]\int e^{at}cos^2(t)dt=\frac{1}{2} \int e^{at}cos(2t)dt + \frac{1}{2} \int e^{at} [/tex]
Følgelig bruker man formelen i a) ( der b=2) og får:
[tex]\frac{1}{2} \int_{0}^{x} e^{at}cos(2t)dt=\frac{e^{ax}}{2(a^2+4)}[a cos(2x)+2sin(2x)]-\frac{a}{2(a^2+4)}[/tex]
Totalt:
[tex]\int e^{at}cos^2(t)dt=\frac{1}{2} \int e^{at}cos(2x)dx + \frac{1}{2} \int e^{at} =\frac{e^{ax}}{2(a^2+4)}[a cos(2x)+2sin(2x)]-\frac{a}{2(a^2+4)}+\frac{e^{ax}-1}{2a} [/tex]
Q.E.D
