Nivårkurver og kvinner som ikke kan lese kart!

[askefast]

La k(x,y) = 30x+20y+60 være kostnadene ved å produsere x enheter av vare A og y enheter av vare B. Nivåkurvene K(x,y)= c, der c er en positiv konstant, kalles kostnadslinjer. Tegn kostnadslinjene k (x,y) = 240 og k (x,y) = 360 og gi en kort praktisk tolkning av disse linjene.


Jeg har forstått det slik at c her, kan være en tilsvarende bokstav som feks z.

Da skal vel ligningen bli:

K(x,y) = 30x+20y-60 = C

C representerer her 240, og 360, tror jeg??

Jeg tror at jeg kan løse denne som en ligning, og har derfor satt opp disse oppsettene. Første bilde representerer hvor C =240.


Jeg har her eliminert ut Y, og funnet hva X er.

Det samme har jeg gjort når C = 360


Jeg føler kanskje at noe er galt, men jeg klarer ikke helt å se hva det er.

Men det jeg ikke forstår bæret av, er hvordan man tegner nivåkurvene. Men kurvene skal vel tegnes som om man så de ovenfra....men jeg forstår virkelig ikke hvor jeg skal begynne. Jeg antar at det er snakk om en verditabell, men jeg vet jo ikke nøyaktige verdier av verken x eller y, så hvordan skal jeg kunne plotte det inn i en verditabell?

Noen som kan komme med innspill? Er jeg helt på jordet her i denne oppgaven eller?

[gt]

Her har du funksjonen til et plan, altså en tredimensjonal funksjon. Nivåkurvene blir linjer på dette planet. Du har regnet ut disse linjene, mer vanlig er det kanskje å uttrykke disse ved y. Hvis du ser et tredimensjonalt koordinatsystem ovenfra så vil du se x- og y-aksen, altså et vanlig todimensjonalt koordinatsystem. Her kan du tegne inn linjene du har funnet, som er lineære sådan.

[askefast]

Hmm....Oki, men da er jeg iallefall inne på riktig spor hva angår utregning av linjene.

Jeg har nå bare ploottet dette inn i et grafprogram. Tror du de vil bli seende slik ut?

To av linjene er Nivålinjene, som jeg har beregnet meg frem til, bare at jeg har beregnet x. Disse er farget med grønn og rosa markørtusj.

De to andre linjene er hele funksjonen som er plottet inn. Den ene der verdien ( c) er 240, og den andre er 360.




Dersom vi ser bort i fra at dette er beregninger for X, ( og ikke Y), ville dette vært riktig fremgangsmåte som jeg her har benyttet ?

[gt]

Huff, her rotet jeg meg skikkelig fast, også viste det seg bare at jeg hadde gjort en kjempetabbe i utregningen min..

For det første, du må sjekke den første utregningen din på nytt, 180/30 er ikke lik 3..

k(x,y) er et plan (i tre dimensjoner, x-, y- og z-retning). k(x,y)=240 vil si alle punktene som har z-verdi lik 240. Siden du har et plan blir dette punkter på ei rett linje. Denne rette linja har du regnet deg fram til: [tex]x=10- \frac {2}{3}y[/tex] (dette uttrykket stemmer). Eller som man vanligvis skriver funksjoner: [tex]y=- \frac {3}{2}x + 15[/tex]

Hvis du tegner denne linja i et x-y-koordinatsystem vil du få den linja som tilsvarer de x- og y-verdiene som gir z=240. Om du plotter [tex]y=- \frac {3}{2}x + 15[/tex] eller [tex]30x+20y-60=240[/tex] så skal du få samme linje. Dette er en av kostnadslinjene dine. I bildet ditt har du plottet +60 i stedet for -60..

I praksis vil dette si at for et hvert punkt på linja kan du finne kombinasjoner av x og y antall varer som det til sammen koster c å produsere. I tilfellet over er c=240.

Hm, det ble visst litt usammenhengende, håper du hang med for det..

[askefast]

Huff, her rotet jeg meg skikkelig fast, også viste det seg bare at jeg hadde gjort en kjempetabbe i utregningen min..

For det første, du må sjekke den første utregningen din på nytt, 180/30 er ikke lik 3..

k(x,y) er et plan (i tre dimensjoner, x-, y- og z-retning). k(x,y)=240 vil si alle punktene som har z-verdi lik 240. Siden du har et plan blir dette punkter på ei rett linje. Denne rette linja har du regnet deg fram til: [tex]x=10- \frac {2}{3}y[/tex] (dette uttrykket stemmer). Eller som man vanligvis skriver funksjoner: [tex]y=- \frac {3}{2}x + 15[/tex]

Hvis du tegner denne linja i et x-y-koordinatsystem vil du få den linja som tilsvarer de x- og y-verdiene som gir z=240. Om du plotter [tex]y=- \frac {3}{2}x + 15[/tex] eller [tex]30x+20y-60=240[/tex] så skal du få samme linje. Dette er en av kostnadslinjene dine. I bildet ditt har du plottet +60 i stedet for -60..

I praksis vil dette si at for et hvert punkt på linja kan du finne kombinasjoner av x og y antall varer som det til sammen koster c å produsere. I tilfellet over er c=240.

Hm, det ble visst litt usammenhengende, håper du hang med for det..

Ja, det kan nok stemme at det er mer vanlig å beregne Y i stedet for X. Jeg har nå gjort nye beregninger og funnet frem til at

Y= 9-2/3X
Y=15 -2/3x
Det er riktig som du sier, at det var noen slurvete delefeil der, hehe. Men det skal være +60, i følge oppgaveteksten.

Men er det riktig å bare tegne denne inn i et vanlig grafsystem? Den læreboken jeg har er bare helt ræva...hehe;)
Uansett, så har jeg forstått det slik at når man har flere variabler i en funksjon, som her X og Y, så skal dette på en måte illustreres tredimensjonalt, og det er vel det samme som 3D? Altså at man skisserer grafen slik den ville sett ut ovenifra.

Jeg har nå skissert denne i et vanlig grafsystem, og er ikke det bare todimensjonalt? Burde jeg tegnet den hvordan den ser ut ovenfra? Det har jeg ingen ide om hvordan den ville utarte seg.


Nå har jo jeg fått grafprogrammet til å beregne grafen for meg, men hvordan tegner man slike grafer i 3D manuelt? Har man bare en vanlig F(x) funksjon kan man jo bare benytte seg av en verditabell, hvor Y er et resultat av x-verdiene. Jeg skjønner ikke hvordan jeg skal skissere en graf i 3D dersom jeg feks får det til eksamen...Grøsse!!

[gt]

Jeg så visst ikke nøye nok på det du hadde skrevet på bildene, i teksten hadde du skrevet -60. Uansett, fremgangsmåten blir jo den samme.

Jeg vet ikke hvor aktuelt det er å skulle tegne 3d-grafer for hånd. Du får programmer som plotter i 3d.



Dette er laget i Graph, et program som følger med OS X til mac.

Oppgaven din spør om nivåkurvene, og disse blir todimensjonale. De blir de linjene på planet som tilsvarer en z-verdi på henholdsvis 240 og 360. Disse to linjene har du regnet ut. De to funksjonene du har fått har bare to variabler, og må derfor være linjer i et todimensjonalt system.

[askefast]

Ah, når du sier det på den måten så føler jeg at det gikk opp et lite lys Noen ganger må man bare ha samme tingen inn fra forskjellige vinkler, hehe

Det virker jo ut som du har ganske god peiling på dette emnet, har du muligheter til å se om jeg er inne på riktig tankesett på denne oppgaver også?

Funksjonen f(x,y) er gitt ved f(x,y) = x^2 +y^2 - 2x+y og er definert
innenfor området der x > eller = 0,
y > eller = 0 og (x - 2)^2 + y2 < eller = 5.

(a) Skraver definisjonsområdet til f(x) på en figur i xy-planet.

(b) Vis at f(x, y) ikke har lokale ekstremalpunkter i det indre av denisjons-
områadet.
(Dvs,finn det stasjonære punktet til f(x, y) og vis at det ligger utenfor
denisjonsområadet.)


Slik jeg forstår oppgaveteksten så skal jeg alstå her finne definisjonsmengden, og skravere dette inn. Vanligvis så kan jo definisjonsmengden bli påvirket av kvadratrøtter, nevnere og ln blant annet. Dette har vi ikke noe her, og jeg mener derfor at funksjonen i utgangspunktet er for alle reelle tall. Likevel er det her blitt satt opp noen krav:

X og Y må begge være større, eller er lik 0.

I tillegg må (x - 2)^2 + y2 være mindre eller er lik 5.

Jeg har forsøkt noen ulike verdier, og mener at jeg kom frem til at definisjonsmengden er i disse koordinatene. Jeg har da forholdt meg til verdier som er høyere eller er lik 0, samt at de ikke overskrider summen 5.


På spørsmål B så skal jeg vise at det stasjonære punktet ligger utenfor definisjonsområdet. Her har jeg kun tatt utgangspunkt i funksjonen F(x, y), og benyttet meg av

F`(a,b) = 0

Problemet jeg mener oppstod er at jeg ikke får benyttet addisjonsmetoden. Jeg valgte derfor bare å finne X og Y hver for seg. Jeg vet ikke om det er lov å bare gjøre det på denne måten, uten å benytte addisjonsmetoden? Men jeg tror kanskje at jeg ikke trenger å gjøre det, i og med at jeg ikke har et stort antall X`er og Y`er å forholde meg til. Det stasjonære punktet jeg kom frem til ble ( 1, - 0,5), jeg fant det slik:


Har jeg forstått, og løst oppgaven riktig tror du??

[gt]

Hehe, bra det gikk opp et lite lys, det er det som er gleden ved å holde på med matematikk. Det er alvorlig lenge siden jeg har jobbet noe særlig med funksjoner i rommet, men dette er god repetisjon.. Du får ta det jeg skriver med en liten klype salt, men jeg tror det stemmer.

For det første, er det [tex](x-2)^2+y^2[/tex] du mener? Det kan være en fordel å bruke tex-funksjonen her i forumet, så blir det ikke usikkerhet rundt spørsmålene. Og det er ikke så vanskelig å lære seg heller (adskillig enklere enn mye av matematikken).

Jeg plottet funksjonen [tex](x-2)^2+y^2=5[/tex]. Her er z substituert med verdien 5, så her får du en funksjon du kan tegne i xy-planet. Dette blir en sirkel.



Definisjonsmengden må ligge innenfor denne sirkelen, samtidig over, eller på, x- og y-aksen. De verdiene du har kommet fram til ligger jo innenfor dette området, du har bare ikke fått med alle verdier.

Når det gjelder det stasjonære punktet så tenkte jeg på samme måte som deg. Her skal det påpekes at det er veeeeldig lenge siden jeg har drevet på med dette, så jeg var litt usikker på om man kunne derivere på den måten. Imidlertid så ser dette ut til å stemme, da jeg tegnet inn et tangentplan i punktet (1, -0,5) til grafen så ser det ut til at dette er bunnpunktet.