Hei.
Jeg lurer litt på et eksempel fra Rudins bok. Han har et eksempel som er gitt som følger:
[tex]f_{n}(x) = \frac{1}{nx + 1}[/tex]
Hvor:
[tex](0 < x < 1 ; n = 1, 2, 3, . . .)[/tex].
Rudin skriver at [tex]f_{n}(x) \to 0[/tex] monotonsk på [tex](0,1)[/tex], men at konvergensen ikke er uniform.
Hvordan er det imidlertid vi kan se av funksjonen at den ikke konvergerer uniformt? Setter stor pris på om noen kort kan forklare dette for meg!
Spørsmål om uniform konvergens
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg regner med at du skjønner selve tolkningen av uniform konvergens?
Hvis du ser på eksempelet ditt ser du at når x=0, får vi verdien 1. Det betyr at uansett hvilken n-verdi vi setter vil det være umulig å velge en delta som gjør slik vi ønsker for uniform konvergens.
Håper svaret hjelper. Jeg synes det er litt vanskelig å ordlegge meg presist og godt når det gjelder dette.
Hvis du ser på eksempelet ditt ser du at når x=0, får vi verdien 1. Det betyr at uansett hvilken n-verdi vi setter vil det være umulig å velge en delta som gjør slik vi ønsker for uniform konvergens.
Håper svaret hjelper. Jeg synes det er litt vanskelig å ordlegge meg presist og godt når det gjelder dette.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Ta dette med en ause salt, men hvis konvergensen skal være uniform så skal x kunne være hva som helst mellom 0 og 1, og verdien skal likevel være mindre enn en gitt [tex]\epsilon[/tex] om man kan velge n stor nok, dvs. om det finnes en N slik at når n > N så er [tex]|f_n| < \epsilon[/tex]. Men gitt en [tex]\epsilon[/tex] så vil det jo finnes x slik at [tex]\frac{1}{n\epsilon} < x < 1[/tex], men for disse x-verdiene er [tex]|f_n| > \epsilon[/tex] dersom [tex]\epsilon < \frac{1}{2}(\sqrt 5 - 1)[/tex].
wingeer: x = 0 er vel per def. ikke mulig?
wingeer: x = 0 er vel per def. ikke mulig?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Takk for svar begge to!Vektormannen wrote:. Men gitt en [tex]\epsilon[/tex] så vil det jo finnes x slik at [tex]\frac{1}{n\epsilon} < x < 1[/tex], men for disse x-verdiene er [tex]|f_n| > \epsilon[/tex] dersom [tex]\epsilon < \frac{1}{2}(\sqrt 5 - 1)[/tex].
Vektormannen - hvordan i all verden kom du frem til dette?
. Jeg forstår godt definisjonen på uniform konvergens (tror jeg - må nok la den synke litt mer inn etter hvert), men jeg må innrømme at jeg ikke forstår hvordan du fikk til dette. Setter pris på om du kan vise meg tankegangen og utregningen.Vektor:
Jo, funksjonen er ikke definert for x=0 men det er åpenbart at når x->0 vil verdien nærme seg 1. "Therein lies the problem".
Det sagt, det kan forklares mer rigorøst og matematisk, men det vred jeg ikke hodet mitt rundt akkurat nå.
Jeg er også interessert i å se hvordan du kom frem til epsilonbegrensningen.
Jo, funksjonen er ikke definert for x=0 men det er åpenbart at når x->0 vil verdien nærme seg 1. "Therein lies the problem".
Det sagt, det kan forklares mer rigorøst og matematisk, men det vred jeg ikke hodet mitt rundt akkurat nå.
Jeg er også interessert i å se hvordan du kom frem til epsilonbegrensningen.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Uff da, ser ut som jeg blingset der :<
Det er vel "litt" greiere å bare se enkelt på det slik du gjorde, wingeer :p
Det jeg tenkte var at om man velger [tex]x = \frac{\epsilon}{n}[/tex] gitt små nok [tex]\epsilon[/tex] (altså [tex]\epsilon < n[/tex] så vil [tex]\frac{1}{nx+1} = \frac{1}{\epsilon+1}[/tex], som er større enn [tex]\epsilon[/tex] når [tex]\epsilon < \frac{1}{2}(\sqrt 5 - 1)[/tex]. Dvs at om det gis en [tex]\epsilon[/tex] som oppfyller denne og samtidig er mindre enn n så vil ikke [tex]|f_n| < \epsilon[/tex]. Men nå ble jeg litt usikker. (plutarco take the wheel!)
Det er vel "litt" greiere å bare se enkelt på det slik du gjorde, wingeer :p
Det jeg tenkte var at om man velger [tex]x = \frac{\epsilon}{n}[/tex] gitt små nok [tex]\epsilon[/tex] (altså [tex]\epsilon < n[/tex] så vil [tex]\frac{1}{nx+1} = \frac{1}{\epsilon+1}[/tex], som er større enn [tex]\epsilon[/tex] når [tex]\epsilon < \frac{1}{2}(\sqrt 5 - 1)[/tex]. Dvs at om det gis en [tex]\epsilon[/tex] som oppfyller denne og samtidig er mindre enn n så vil ikke [tex]|f_n| < \epsilon[/tex]. Men nå ble jeg litt usikker. (plutarco take the wheel!)
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Takk skal du ha, Vektormannen. Jeg ser jo at du nå kan bruke annengradsligningen til å finne uttrykket for epsilonbegrensningen .
Rent intuitivt så er det vel slik at grunnen til at funksjonen ikke har uniform konvergens er at uansett hva vi velger for epsilon, så vil vi alltid kunne ta en mindre verdi for x, som igjen medfører at uttrykket for f blir større. Dette har jo sammenheng med at x er definert på et åpent intervall. Stemmer ikke dette?
.Rent intuitivt så er det vel slik at grunnen til at funksjonen ikke har uniform konvergens er at uansett hva vi velger for epsilon, så vil vi alltid kunne ta en mindre verdi for x, som igjen medfører at uttrykket for f blir større. Dette har jo sammenheng med at x er definert på et åpent intervall. Stemmer ikke dette?
Det er klart at [tex]f_n[/tex] konvergerer punktvis mot [tex]0[/tex] på [tex](0,1)[/tex].krje1980 wrote:
[tex]f_{n}(x) = \frac{1}{nx + 1}[/tex]
Rudin skriver at [tex]f_{n}(x) \to 0[/tex] monotonsk på [tex](0,1)[/tex], men at konvergensen ikke er uniform.
Hvordan er det imidlertid vi kan se av funksjonen at den ikke konvergerer uniformt? Setter stor pris på om noen kort kan forklare dette for meg!
Anta at [tex]f_n(x)[/tex] også konvergerer uniformt mot [tex]0[/tex] på det samme intervallet. Da vil det for alle [tex]\epsilon>0[/tex] finnes en [tex]N[/tex] slik at for alle [tex]x\in (0,1)[/tex] og alle [tex]n\geq N[/tex] vil [tex]|f_n(x)|<\epsilon[/tex].
Vi ser for oss en stripe om x-aksen med radius [tex]\epsilon [/tex]. Uniform konvergens betyr altså at [tex]f_n(x)[/tex] må ligge innenfor denne stripen for alle [tex]x\in (0,1)[/tex], [tex]n\geq N[/tex]. Det er ganske opplagt at dette er umulig. Vi kan vise det ved å bruke at [tex]\lim_{x\to 0}f_n(x)=1[/tex]. Vi lar [tex]\epsilon<1[/tex]. [tex]\epsilon-\delta[/tex]-definisjonen av grensa (fra høyre) betyr at det fins en [tex]\delta>0[/tex] slik at når [tex]0<x<\delta[/tex] så er [tex]|1-f_n(x)|<\frac{1-\epsilon}{2}[/tex]. Altså fins det for alle n og alle [tex]0<\epsilon<1[/tex] en [tex]x \in (0,1)[/tex] slik at [tex]|f_n(x)|>\epsilon[/tex]. Paradokset er dermed at det ikke fins en slik [tex]N[/tex] som i definisjonen av uniform konvergens.
Takk for svar, plutarco.
Kunne du vært så snill å vist tankegangen bak valget:
[tex]|1 - f_{n}(x)| < \frac{1 - \epsilon}{2}[/tex]. Ser ikke helt hvordan du kommer frem til dette. Og ser ikke helt heller hvordan du av dette kommer frem til [tex]|f_{n}(x)| > \epsilon[/tex]. Forsøkte å komme fram til dette basert på uttrykket [tex]|1 - f_{n}(x)| < \frac{1 - \epsilon}{2}[/tex], men fikk det ikke helt til.
Kunne du vært så snill å vist tankegangen bak valget:
[tex]|1 - f_{n}(x)| < \frac{1 - \epsilon}{2}[/tex]. Ser ikke helt hvordan du kommer frem til dette. Og ser ikke helt heller hvordan du av dette kommer frem til [tex]|f_{n}(x)| > \epsilon[/tex]. Forsøkte å komme fram til dette basert på uttrykket [tex]|1 - f_{n}(x)| < \frac{1 - \epsilon}{2}[/tex], men fikk det ikke helt til.
Fra definisjonen av funksjonsfølgen vet vi at den alltid er positiv og mindre enn 1. Det betyr at [tex]|1-f_n(x)|=1-f_n(x)<\frac{1}{2}(1-\epsilon) \Leftrightarrow 2 - 2f_n(x) < 1-\epsilon \Leftrightarrow -2f_n(x) < -\epsilon - 1 \Leftrightarrow 2f_n(x)> f_n(x) > \epsilon + 1 > \epsilon[/tex]
Muligens?
Muligens?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Takk skal du ha, wingeer.
Jeg ser imidlertid fremdeles ikke hva som er motivasjonen for at man velger akkurat:
[tex]1 - f_{n}(x) < \frac{1}{2}(1 - \epsilon)[/tex]
Og videre:
Jeg ser jo hvordan du kommer frem til:
[tex]2f_{n}(x) > \epsilon + 1[/tex], men hvorfor er det da garantert at:
[tex]f_{n}(x) > \epsilon + 1[/tex]?
Jeg ser imidlertid fremdeles ikke hva som er motivasjonen for at man velger akkurat:
[tex]1 - f_{n}(x) < \frac{1}{2}(1 - \epsilon)[/tex]
Og videre:
Jeg ser jo hvordan du kommer frem til:
[tex]2f_{n}(x) > \epsilon + 1[/tex], men hvorfor er det da garantert at:
[tex]f_{n}(x) > \epsilon + 1[/tex]?
Det siste steget der er kanskje ikke helt rettferdiggjort, nei. Men uansett har en jo:
[tex]f_n(x) > \frac{\epsilon}{2}[/tex].
Jeg tror det skal holde? Plutarco får i verste fall rette meg her.
Jeg er også litt spent på det valget. Ville det ikke vært mye enklere å velge [tex]1-\epsilon[/tex] istedenfor [tex]\frac{(1-\epsilon)}{2}[/tex]?
[tex]f_n(x) > \frac{\epsilon}{2}[/tex].
Jeg tror det skal holde? Plutarco får i verste fall rette meg her.
Jeg er også litt spent på det valget. Ville det ikke vært mye enklere å velge [tex]1-\epsilon[/tex] istedenfor [tex]\frac{(1-\epsilon)}{2}[/tex]?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.