Integral, Simpsonsformel, derivasjon

[Razzy]

Oppgaven:

Gitt det bestemte integralet [tex]$$\int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right)\,{\rm{d}}x} $$[/tex]

a) Finn en tilnærmet verdi for integralet ved å bruke Simpsons formel med [tex]$$2n = 4.$$[/tex]

b) Vis ved hjelp av derivasjonstesten at [tex]$$\int {\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right)\,{\rm{d}}x} = \left( {x + {1 \over 2}} \right)\,\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right) - 2x + \sqrt 3 \,\arctan {{2x + 1} \over {\sqrt 3 }} + C$$[/tex]

c) Sammenlign den korrekte verdien av integralet med den tilnærmete verdien du fant i a)


Løsningsforslag:

a)

Det eneste jeg syntes kan være vanskelig med Simpsonsformel er oppdelingen. Menes det her at: [tex]$$\Delta X = {{1 - 0} \over 4} = {1 \over 4}$$[/tex]

b)

Her er det "bare" å løse følgende:

[tex]$${\left( {\left( {x + {1 \over 2}} \right)\,\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right) - 2x + \sqrt 3 \,\arctan {{2x + 1} \over {\sqrt 3 }} + C} \right)^\prime } = \int {\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right)\,{\rm{d}}x} $$[/tex]

c)

Sammenlign, evt finne prosentforskjellen og gi en kommentar.

[Vektormannen]

a) Jeg er litt usikker (av samme grunn som deg) når de skriver 2n = 4. Hvis det med n menes antall oppdelinger så står det jo strengt tatt at n = 2 (dvs. at [tex]\Delta x = 1/2[/tex].) Det blir i såfall en ganske grov tilnærming.

b) Du skal ikke vise at den deriverte blir lik integralet, men at den blir lik integranden i integralet. Slurvefeil fra din side antar jeg?

c) Som du sier, sammenlign de to, f.eks. ved å oppgi prosentvis feil.

[Razzy]

a) Jeg er litt usikker (av samme grunn som deg) når de skriver 2n = 4. Hvis det med n menes antall oppdelinger så står det jo strengt tatt at n = 2 (dvs. at [tex]\Delta x = 1/2[/tex].) Det blir i såfall en ganske grov tilnærming.

b) Du skal ikke vise at den deriverte blir lik integralet, men at den blir lik integranden i integralet. Slurvefeil fra din side antar jeg?

c) Som du sier, sammenlign de to, f.eks. ved å oppgi prosentvis feil.

Flott! Skal se nærmere på deloppgave b) og gi deg en tilbakemelding. Det skulle bare mangle.

[Razzy]

a) Jeg er litt usikker (av samme grunn som deg) når de skriver 2n = 4. Hvis det med n menes antall oppdelinger så står det jo strengt tatt at n = 2 (dvs. at [tex]\Delta x = 1/2[/tex].) Det blir i såfall en ganske grov tilnærming.

Det stemmer det jeg har skrevet tidligere (har funnet frem til det i notatene mine). Det er sikkert derfor læreren min har skrevet = 4 også, for å presisere at jeg skal dele på 4.

[Razzy]

[tex]$$\int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right)\,{\rm{d}}x} $$[/tex]

[tex]$$\Delta X = {{1 - 0} \over 4} = {1 \over 4}$$[/tex]

[tex]$$A \approx {1 \over {12}}\left( {\ln \left( {1 + 0 + {0^2}} \right) + 4\ln \left( {1 + {1 \over 4} + {{{1 \over 4}}^2}} \right) + 2\ln \left( {1 + {1 \over 2} + {{{1 \over 2}}^2}} \right) + 4\ln \left( {1 + {3 \over 4} + {{{3 \over 4}}^2}} \right) + \ln \left( {1 + 1 + {1^2}} \right)} \right)$$[/tex]

[tex]$$A \approx 0.4959...$$[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2%29%29%29 (kopier hele linken)

Jeg har gått over utregningen flere ganger og mener på at den skal være korrekt! (har kryssjekket med en annen oppgave)


Grunnen til at jeg reagerer er at:

[tex]$$\int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right)\,{\rm{d}}x} \approx 0.5548$$[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... rom+0+to+1 (kopier hele linken)

Det er kanskje meningen at Simpsons metode ikke alltid skal fungere 100%, i boken står det at "Vi bruker Simpsons metode som en illustrasjon"...

[mstud]

Simpsons metode gir jo bare en tilnærmet verdi...

Skal være riktig slik du gjør det... så vidt jeg kan se

Se evt. http://ansatte.uit.no/bda006/MatteNotat ... rasjon.pdf bla ned til side 4.

Når vi lager andregradsfunksjon mellom punkter på en graf kan vi jo få en relativt dårlig tilnærming også...

[Razzy]

Simpsons metode gir jo bare en tilnærmet verdi...

Skal være riktig slik du gjør det... så vidt jeg kan se

Se evt. http://ansatte.uit.no/bda006/MatteNotat ... rasjon.pdf bla ned til side 4.

Når vi lager andregradsfunksjon mellom punkter på en graf kan vi jo få en relativt dårlig tilnærming også...

Det er godt du syntes det så riktig ut, for det er det også! (kalkulator feil-tast tenker jeg)


[tex]$$\Delta X = {{1 - 0} \over 4} = {1 \over 4}$$[/tex]

[tex]$$A \approx {1 \over {12}}\left( {\ln \left( {1 + 0 + {0^2}} \right) + 4\ln \left( {1 + {1 \over 4} + {{{1 \over 4}}^2}} \right) + 2\ln \left( {1 + {1 \over 2} + {{{1 \over 2}}^2}} \right) + 4\ln \left( {1 + {3 \over 4} + {{{3 \over 4}}^2}} \right) + \ln \left( {1 + 1 + {1^2}} \right)} \right)$$[/tex]

[tex]$$A \approx 0.554907$$[/tex]

[mstud]

Simpsons metode gir jo bare en tilnærmet verdi...

Skal være riktig slik du gjør det... så vidt jeg kan se

Se evt. http://ansatte.uit.no/bda006/MatteNotat ... rasjon.pdf bla ned til side 4.

Når vi lager andregradsfunksjon mellom punkter på en graf kan vi jo få en relativt dårlig tilnærming også...

Det er godt du syntes det så riktig ut, for det er det også! (kalkulator feil-tast tenker jeg)


[tex]$$\Delta X = {{1 - 0} \over 4} = {1 \over 4}$$[/tex]

[tex]$$A \approx {1 \over {12}}\left( {\ln \left( {1 + 0 + {0^2}} \right) + 4\ln \left( {1 + {1 \over 4} + {{{1 \over 4}}^2}} \right) + 2\ln \left( {1 + {1 \over 2} + {{{1 \over 2}}^2}} \right) + 4\ln \left( {1 + {3 \over 4} + {{{3 \over 4}}^2}} \right) + \ln \left( {1 + 1 + {1^2}} \right)} \right)$$[/tex]

[tex]$$A \approx 0.554907$$[/tex]

Flott! Da er den grei...

[Razzy]

Flott! Da er den grei...

one small step for mstud is a giant leep for Razzy

[mstud]

Flott! Da er den grei...

one small step for mstud is a giant leep for Razzy

leap

Interesting indeed !!!