Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Jeg har en ligning:
[tex]\frac{dy}{dt} = ay(A-y)[/tex]
Gjennom utregning finner jeg at y(t) vil stabilisere seg på A.
Det skal visst nok være mulig å lese denne likevektstilstanden direkte ut av den gitte differensialligningen, men det skjønner jeg ikke noe av!
En likevektstilstand har du når dy/dt = 0. Dersom dy/dt = 0 så gir differensialligningen at ay(A-y) = 0. Da må enten y = 0 eller A - y = 0 som gir y = A.
Det kan være jeg misforsto spørsmålet ditt. Lurer du kanskje på hvordan man kan se om det er en stabil eller ustabil likevektsløsning?
Det du gjør da er at du ser for deg at du er på linja y = A. Hvis du da går litt nedover på y-aksen så har du at 0 < y < A, så ay(A-y) > 0 (dvs. er positiv.) Da er dy/dt positiv. Hvis du derimot går litt oppover fra y = A så er y > A, så da blir ay(A-y) < 0, siden y er positiv mens A-y da blir negativ. Går du litt oppover på y-aksen blir altså dy/dt positiv.
Dette betyr at y = A er en stabil likevektsløsning. Går du litt opp eller litt ned så får dy/dt et fortegn som motvirker bevegelsen og vil tvinge deg tilbake til likevekt.
