Anvendelse av derivasjon

[Janhaa]

Ser riktig ut det dere har gjort, kladda litt på siden her. Fasiten tar feil, antakeligvis så skal det stå 2 og ikke 21 der. Litten trykkleif mtp1
Ser ut som
[tex]L = \sqrt{109+3\cdot90^{2/3}+30\cdot 90^{1/3} }[/tex]
når [tex]y = \sqrt[3]{90} + 10[/tex]

[tex]L = \sqrt{109+3\cdot90^{2/3}+30\cdot 90^{1/3}}=\approx 17,4[/tex]

som jeg fikk i farta i går...

[Razzy]

Ser riktig ut det dere har gjort, kladda litt på siden her. Fasiten tar feil, antakeligvis så skal det stå 2 og ikke 21 der. Litten trykkleif mtp1
Ser ut som
[tex]L = \sqrt{109+3\cdot90^{2/3}+30\cdot 90^{1/3} }[/tex]
når [tex]y = \sqrt[3]{90} + 10[/tex]

[tex]L = \sqrt{109+3\cdot90^{2/3}+30\cdot 90^{1/3}}=\approx 17,4[/tex]

som jeg fikk i farta i går...

[tex]$$9\left( {{{2y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} - {{2{y^2}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}}} \right) + 2y = 0$$[/tex]

[tex]$$\left( {{{18y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} - {{18{y^2}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}}} \right) + 2y = 0$$[/tex]

[tex]$${{18y \cdot \left( {y - 10} \right) - 18{y^2} + 2y \cdot {{\left( {y - 10} \right)}^3}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}} = 0$$[/tex]

[tex]$${{18{y^2} - 180y - 18{y^2} + 2y \cdot {{\left( {y - 10} \right)}^3}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}} = 0$$[/tex]

[tex]$${{2y \cdot \left( {{y^3} - 30{y^2} + 300y - 1000} \right) - 180y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}} = 0$$[/tex]


Som barna alltid sier; er det langt igjen?! hehe

[tex]$$y = 10 + {3^{{2 \over 3}}} + \sqrt[3]{10} \approx 14.4814$$[/tex]

Tror ikke jeg har lært hvordan man ganger ut [tex]$${{{\left( {y - 10} \right)}^3}}$$[/tex]...

Den siste verdien jeg ender opp med setter jeg inn i funksjonen og får 17,4 m som dere har fått. Korrekt?

Janhaa sa at det holder med å studere diskriminanten - vil dette si telleren da?

[Janhaa]

[tex]$${s^2} = {\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)^2} + {y^2}$$[/tex]
[tex]$$s = \sqrt {{{\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)}^2} + {y^2}} $$[/tex]

det jeg mente:

hvis nederste likninga deriveres = 0, fås:

[tex]s^,=\frac{1}{2\sqrt{(\text kjernen)}}*(\text deriverte av kjernen)=0[/tex]

og kjernen er det under kvadratrota, dvs diskriminanten

u.s.w.

[Razzy]

[tex]$${s^2} = {\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)^2} + {y^2}$$[/tex]
[tex]$$s = \sqrt {{{\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)}^2} + {y^2}} $$[/tex]

det jeg mente:

hvis nederste likninga deriveres = 0, fås:

[tex]s^,=\frac{1}{2\sqrt{(\text kjernen)}}*(\text deriverte av kjernen)=0[/tex]

og kjernen er det under kvadratrota, dvs diskriminanten

u.s.w.

Enig!

[tex]$$2{y^4} - 60{y^3} + 600{y^2} - 1820y = 0$$[/tex]

Hvordan løste du denne? Svaret skal være [tex]$$y = 10 + {3^{{2 \over 3}}} + \sqrt[3]{10} \approx 14.4814$$[/tex]

Har jeg gjort ting værre enn de trengte å være nå?

[Janhaa]

jeg brukte 5-10 min på oppgava når jeg kladda den i går, og sendte spm ang 17,4 m. husker?
mener jeg fikk ei 3. gradslikning som jeg døtta inn i onkel Wolfram, og den ga 1 reell og 2 komplekse løsninger...
(jeg er jo lat da, dessuten er d mye multitasking om dagen).

[Razzy]

jeg brukte 5-10 min på oppgava når jeg kladda den i går, og sendte spm ang 17,4 m. husker?
mener jeg fikk ei 3. gradslikning som jeg døtta inn i onkel Wolfram, og den ga 1 reell og 2 komplekse løsninger...
(jeg er jo lat da, dessuten er d mye multitasking om dagen).

For en mann! hehe

Jeg jobber med det jeg har, takk! Og stå på Janhaa du gjør en utrolig innsats her inne - det gjør dere alle sammen.

[Razzy]

[tex]$${y^3} - 30{y^2} + 300y - 910 = 0$$[/tex]

Det må ha vært denne 3.grads ligningen du stappet inn i Wolfram! (den gir meg fasiten)

Siden vi ikke løser 3. gradsligniner i kurset mitt, kan jeg bare oppgi svaret? (dette er en innlevering der jeg skal bruke verdien jeg får herfra til å sette inn i funksjonen)

[Nebuchadnezzar]

Unger i dag altså... Dette inkluderer janhaa :p Som virker som har litt å bedrive tida si med for tiden.

Vi bruke den frekke universal substitusjonen på oppgaven altså [tex]y = x - \frac{a}{3b}[/tex]

Der [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er gitt ved

[tex]ay^3 + by^2 + cy + d[/tex]

Den substitusjonen bør en skrive seg bak øret... Fungerer alltid. Prøvde den selv, funka fjell her. Meget pent og enkelt...

Strengt talt blir vel uttrykket du kan bruke denne frekke omformingen på [tex]2y \left( y^3 - 30y^2 + 300y - 1090 \right) = 0[/tex]

[Janhaa]

Unger i dag altså... Dette inkluderer janhaa :p Som virker som har litt å bedrive tida si med for tiden.
Vi bruke den frekke universal substitusjonen på oppgaven altså [tex]y = x - \frac{a}{3b}[/tex]
Der [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er gitt ved
[tex]ay^3 + by^2 + cy + d[/tex]
Den substitusjonen bør en skrive seg bak øret... Fungerer alltid. Prøvde den selv, funka fjell her. Meget pent og enkelt...
Strengt talt blir vel uttrykket du kan bruke denne frekke omformingen på [tex]2y \left( y^3 - 30y^2 + 300y - 1090 \right) = 0[/tex]

ja, du var dobbelfrekk der nebbegutt

[Razzy]

Vi bruke den frekke universal substitusjonen på oppgaven altså [tex]y = x - \frac{a}{3b}[/tex]

Der [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er gitt ved

[tex]ay^3 + by^2 + cy + d[/tex]

Den substitusjonen bør en skrive seg bak øret... Fungerer alltid. Prøvde den selv, funka fjell her. Meget pent og enkelt...

Strengt talt blir vel uttrykket du kan bruke denne frekke omformingen på [tex]2y \left( y^3 - 30y^2 + 3++y - 1090 \right) [/tex]

Jeg prøver meg:

[tex]2y \left( y^3 - 30y^2 + 300y - 1090 \right) = 0[/tex]

[tex]$$2y = x - {1 \over {3 \cdot \left( { - 30} \right)}}$$[/tex]

[tex]$$y = x - {2 \over {3 \cdot \left( { - 30} \right)}}$$[/tex]

Tok nok ikke helt poenget her, kunne du vært så snill og hjulpet meg? Dette blir saker! (hehe unga nå til dags)

[Razzy]

Ja det var ikke mye til forsøk si! hehe

[tex]$$2y\left( {{y^3} - 30{y^2} + 300y - 1090} \right) = 0$$[/tex]

[tex]$$y = x - {1 \over {3 \cdot \left( { - 30} \right)}}$$[/tex]

[tex]$$2\left( {x - {1 \over {3 \cdot \left( { - 30} \right)}}} \right)\left( {{{\left( {x - {1 \over {3 \cdot \left( { - 30} \right)}}} \right)}^3} - 30{{\left( {x - {1 \over {3 \cdot \left( { - 30} \right)}}} \right)}^2} + 300\left( {x - {1 \over {3 \cdot \left( { - 30} \right)}}} \right) - 1090} \right) = 0$$[/tex]

Fikk nesten riktig svar her, jeg nærmer meg?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2y ... 090%29%3D0

[Razzy]

[tex]$${y^3} - 30{y^2} + 300y - 1090 = 0$$[/tex]

[tex]$$\left( {{{\left( {x + {1 \over {3 \cdot 30}}} \right)}^3} - 30{{\left( {x + {1 \over {3 \cdot 30}}} \right)}^2} + 300\left( {x + {1 \over {3 \cdot 30}}} \right) - 1090} \right) \approx 14.4703$$[/tex]

Summen vi vil ha (fasit) [tex]$$ \approx 14.4814$$[/tex] er dette riktig for det?

[Nebuchadnezzar]

når du forenkler

[tex]9 \left( \frac{2y}{(y-10)^2 } - \frac{2y^2}{(y-10)^3 } \right) + 2y = 0[/tex]

får du

[tex]2y (y^3 - 30y^2 + 300y - 1090) = 0 [/tex]

[tex]2y = 0 [/tex] kan du skrape som en løsning med en gang. (Ser du hvorfor?)

Altså står du igjen med

[tex]y^3 - 30y^2 + 300y - 1090 = 0 [/tex]

Her bruker du at

[tex]y = x - \frac{b}{3a} = x + 10[/tex]

Altså får du at

[tex](x+10)^3 - 30(x+10)^2 + 300(x+10) - 1090 = 0 [/tex]

Som blir enkelt

[Razzy]

Er du enig at verdien vi leter etter (bortsett fra null) er: 14.4814?

Altså det vi får når vi legger inn: [tex]$$9\left( {{{2y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} - {{2{y^2}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}}} \right) + 2y = 0$$[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=9% ... 29%29%2B2y

Legger vi inn: [tex]$${\left( {x + 10} \right)^3} - 30{\left( {x + 10} \right)^2} + 300\left( {x + 10} \right) - 1090 = 0$$[/tex] får vi 4.4814!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 10%29-1090


Ellers blir utregningen:

[tex]$$\left( {{x^3} + 30{x^2} + 300x + 1000} \right) - 30\left( {{x^2} + 20x + 100} \right) + 300\left( {x + 10} \right) - 1090 = 0$$[/tex]

[tex]$${x^3} + 30{x^2} + 300x + 1000 - 30{x^2} - 600x - 3000 + 300x + 3000 - 1090 = 0$$[/tex]

(stryke masse)

[tex]$${x^3} - 90 = 0$$[/tex]

[tex]$$x = \sqrt[3]{90} \approx 4.4818$$[/tex]

Hva har du å si til dette! hehe

[Nebuchadnezzar]

Er du enig at verdien vi leter etter (bortsett fra null) er: 14.4814?

Altså det vi får når vi legger inn: [tex]$$9\left( {{{2y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} - {{2{y^2}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}}} \right) + 2y = 0$$[/tex]

Wolfram drit... =)

Legger vi inn: [tex]$${\left( {x + 10} \right)^3} - 30{\left( {x + 10} \right)^2} + 300\left( {x + 10} \right) - 1090 = 0$$[/tex] får vi 4.4814!

Ser da rett ut dette husk at vi har

[tex]y = 10 + x[/tex]

Og du har funnet x, altså får vi at

[tex]y = 10 + 90^{1/3}[/tex]

Som stemmer, og er den reelle roten til tredjegradspolynomet vårt. Ser du at du klarte å løse en tredjegradslikning uten alt for mye styr, via en smart substitusjon!

Fleste lærere og proffesorer vil si at tredjegradspolynomer løser vi aldri analytisk, bare med tilnærminger. Men vi viser her at det er mulig!

Eneste "feilen din" var at du glemte å bytte tilbake. Det var jo i realiteten aldri x, vi ville ha, vi bare brukte den for å få finne y.
Sammenhengen mellom x og y er jo rimelig klar.

Jaja 14 noe er rett det.