Hei.
Har forsøkt meg på en oppgave i Rudin kapittel 7. Setter stor pris på om noen kan bekrefte/avkrefte om jeg har gjort dette korrekt. Jeg har løst oppgaven på engelsk.
PROBLEM
For [tex]n = 1, 2, 3, . . ., x[/tex] real, put
[tex]f_{n}(x) = \frac{x}{1 + nx^2}[/tex]
Show that [tex]{f_n}[/tex] converges uniformly to a function [tex]f[/tex], and that the equation
[tex]f^\prime(x) = \lim_{n \to \infty}f^{\prime}_{n}(x)[/tex]
is correct if [tex]x \neq 0[/tex], but false if [tex]x = 0[/tex].
LØSNING
Assume [tex]{f_n}[/tex] conerges uniformly to a function [tex]f[/tex] on a set [tex]E[/tex]. Then for every [tex]\epsilon > 0[/tex] there is an integer [tex]N[/tex] such that [tex]n \geq N[/tex] implies [tex]|f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon[/tex] for all [tex]x \in E[/tex]. Looking at pointwise convergence we see that [tex]f_{n}(x) \to 0[/tex] as [tex]n \to \infty[/tex]. Thus, we have:
[tex]|f_{n}(x) - f(x)| = |f_{n}(x) - 0| = |\frac{x}{1 + nx^2}| \leq |\frac{x}{nx^2}| = |\frac{1}{nx}| \leq |\frac{1}{n}|[/tex]
Since [tex]n \to \infty[/tex] this becomes arbitrarily small, and it follows that [tex]|\frac{1}{n}| < \epsilon[/tex] for a large enough [tex]n[/tex]. This proves the first part.
Now, using again the fact that we found [tex]f(x) = 0[/tex], we see that [tex]f^\prime(x) = 0[/tex]. For [tex]f_{n}(x)[/tex] we have:
[tex]f^{\prime}_{n}(x) = \frac{(1 + nx^2) - x(2nx)}{(1 + nx^2)^2}[/tex]
[tex]= \frac{1 + nx^2 - 2nx^2}{(1+nx^2)^2}[/tex]
[tex]= \frac{1 - nx^2}{(1 + nx^2)^2}[/tex]
From this we see clearly that since [tex]n[/tex] has a higher power in the denominator, [tex]f^{\prime}_{n}(x) \to 0[/tex] as [tex]n \to \infty[/tex] provided that [tex]x \neq 0[/tex]. However, for [tex]x = 0[/tex] we get:
[tex]f^{\prime}_{n}(0) = \frac{1}{1^2} = 1[/tex]
And thus we see that
[tex]f^\prime(x) = \lim_{n \to \infty}f^{\prime}_{n}(x)[/tex] is correct if [tex]x \neq 0[/tex], but false if [tex]x = 0[/tex]
QED
Setter som sagt meget stor pris på kommentarer/innspill!
Uniform konvergens igjen
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg syntes det ser ganske greit ut, egentlig.
Det eneste er at du skriver at du antar f_n(x) er uniformt konvergent, for så å vise at den er uniformt konvergent? (Det kan godt hende dette kun er semantiske spikkerier, dog).
Det eneste er at du skriver at du antar f_n(x) er uniformt konvergent, for så å vise at den er uniformt konvergent? (Det kan godt hende dette kun er semantiske spikkerier, dog).
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Jeg ser ikke helt hvordan du har vist at [tex]f_n[/tex] konvergerer uniformt mot 0.krje1980 wrote: PROBLEM
For [tex]n = 1, 2, 3, . . ., x[/tex] real, put
[tex]f_{n}(x) = \frac{x}{1 + nx^2}[/tex]
Show that [tex]{f_n}[/tex] converges uniformly to a function [tex]f[/tex], and that the equation
[tex]f^\prime(x) = \lim_{n \to \infty}f^{\prime}_{n}(x)[/tex]
is correct if [tex]x \neq 0[/tex], but false if [tex]x = 0[/tex].
LØSNING
Assume [tex]{f_n}[/tex] conerges uniformly to a function [tex]f[/tex] on a set [tex]E[/tex]. Then for every [tex]\epsilon > 0[/tex] there is an integer [tex]N[/tex] such that [tex]n \geq N[/tex] implies [tex]|f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon[/tex] for all [tex]x \in E[/tex]. Looking at pointwise convergence we see that [tex]f_{n}(x) \to 0[/tex] as [tex]n \to \infty[/tex]. Thus, we have:
[tex]|f_{n}(x) - f(x)| = |f_{n}(x) - 0| = |\frac{x}{1 + nx^2}| \leq |\frac{x}{nx^2}| = |\frac{1}{nx}| \leq |\frac{1}{n}|[/tex]
Since [tex]n \to \infty[/tex] this becomes arbitrarily small, and it follows that [tex]|\frac{1}{n}| < \epsilon[/tex] for a large enough [tex]n[/tex]. This proves the first part.
1) Du kan ikke starte med å anta det du skal bevise.
2) Punktvis konvergens medfører ikke uniform konvergens
3) Ulikheten [tex]|\frac{1}{nx}|\leq|\frac{1}{n}|[/tex] stemmer ikke for |x|<1
Takk for svar.
Som jeg nevnte over, så har jeg nok ikke begynt dette semantisk helt korrekt. Jeg bør droppe ordet "assume" og heller skrive at "for at en funksjonsfølge skal ha uniform konvergens så må . . . .", for deretter å sjekke om den gitte funksjonsfølgen faktisk konvergerer. Dette er jeg klar over.
Når det gjelder punkt 2 så tar jeg utgangspunkt i hva grenseverdien blir når [tex]n \to \infty[/tex]. Videre må vi så vise at denne grenseverdien holder uansett hvilken verdi vi velger for [tex]x[/tex].
Når det gjelder punkt 3 så har du selvsagt helt rett. Av en eller annen grunn tenkte jeg kun på [tex]x[/tex] som heltall. Men regner med at jeg kan bruke at [tex]|\frac{1}{xn}| < \epsilon[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex].
Som jeg nevnte over, så har jeg nok ikke begynt dette semantisk helt korrekt. Jeg bør droppe ordet "assume" og heller skrive at "for at en funksjonsfølge skal ha uniform konvergens så må . . . .", for deretter å sjekke om den gitte funksjonsfølgen faktisk konvergerer. Dette er jeg klar over.
Når det gjelder punkt 2 så tar jeg utgangspunkt i hva grenseverdien blir når [tex]n \to \infty[/tex]. Videre må vi så vise at denne grenseverdien holder uansett hvilken verdi vi velger for [tex]x[/tex].
Når det gjelder punkt 3 så har du selvsagt helt rett. Av en eller annen grunn tenkte jeg kun på [tex]x[/tex] som heltall. Men regner med at jeg kan bruke at [tex]|\frac{1}{xn}| < \epsilon[/tex] når [tex]n \to \infty[/tex].
Det er ett problem ved argumentasjonen din, og det er at følgen [tex]|\frac{1}{nx}|[/tex] blåser opp når [tex]x\to 0[/tex].
Fiksér en [tex]\epsilon >0[/tex].
Min påstand er at det ikke fins en N slik at for alle n>N vil [tex]|\frac{1}{nx}|<\epsilon[/tex] for alle x. (husk definisjonen av uniform konvergens)
Du må derfor gå tilbake til følgen [tex]|\frac{x}{1+nx^2}|[/tex] og ta det derfra.
Fiksér en [tex]\epsilon >0[/tex].
Min påstand er at det ikke fins en N slik at for alle n>N vil [tex]|\frac{1}{nx}|<\epsilon[/tex] for alle x. (husk definisjonen av uniform konvergens)
Du må derfor gå tilbake til følgen [tex]|\frac{x}{1+nx^2}|[/tex] og ta det derfra.
Last edited by Gustav on 09/11-2011 00:30, edited 1 time in total.
Takk igjen, plutarco. Jeg skal se på dette i morgen! Setter pris på hjelpen din. Reell analyse er veldig interessant, men kan til tider være frustrerende og til dels demotiverende. I fag jeg har tatt tidligere får jeg som regel til de aller fleste oppgavene uten problemer. Nå hører det til sjeldenhetene at jeg løser en oppgave helt korrekt på første forsøk. Det må som regel alltid justeringer og endringer til før bevisene sitter som de skal. Selv om jeg føler at jeg forstår mye av teorien, så synes jeg det er veldig vanskelig å skrive beviser 100 % korrekt!
Sannsynligvis noe de fleste opplever i overgangen fra kalkulus til analyse. Ofte ligger vanskeligheten i det å få skrevet ned beviset på en god måte. (man har gjerne en vag idé om hovedtrekk). Det gjelder å dele opp problemet og jobbe med hver enkelt del i ro og orden. Det dummeste er nok å tro at man skal gape over for store problemer i et jafs. I tillegg er det ofte lurt å enten generalisere eller se på spesialtilfeller av problemet. Det hjelper også å sove på problemet. Står man fast lenge er det ofte et tegn på at man bør begynne på nytt og tenke over problemet fra en annen synsvinkel. Det gjelder også å erkjenne at rigorøse bevis som oftest er langt mer krevende enn algoritmisk oppgaveløsning slik man er vant med i tidlige fag: man kan være vant med å løse 20 oppgaver per dag i kalkulus, til å klare noen få vanskelige beviser per uka i reell analyse. Det gjør at man kanskje føler at man har stagnert litt, og kan være frustrerende.krje1980 wrote:Selv om jeg føler at jeg forstår mye av teorien, så synes jeg det er veldig vanskelig å skrive beviser 100 % korrekt!
Er du i det minste i tvil om at beviset ditt er riktig kan det (erfaringsmessig) være et tegn på at noe er feil. Jeg pleier ofte å få en slags trygghet på at beviset er rett når det er tilfelle. Som regel når jeg er usikker er det et eller annet feil, og jeg må gå tilbake og skifte synsvinkel et eller annet sted.
Til slutt vil jeg nevne at det er maktpåliggende å lese og forstå definisjoner, og gjerne repetere definisjonene foran hver oppgave til å begynne med. Ofte er det subtile detaljer i definisjonene som skaper hodebry.
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Flott inlleg virker motiverende. Selv for meg som er knappe førstissen, antar jeg dette er retningen jeg og beveger meg i.
Er så nyssgjerrig. Hvilken utdanning har du plutarco / hva bedriver du tiden med nå ? Virker så flink innen alt som har med analyse å gjøre =)
Er så nyssgjerrig. Hvilken utdanning har du plutarco / hva bedriver du tiden med nå ? Virker så flink innen alt som har med analyse å gjøre =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Plutarco,
Først av alt - takk så mye for det motiverende innlegget! Det var kjekt å lese dette etter at jeg følte meg litt frustrert i går kveld! Var også på forelesning i dag, og det er betryggende vite at alle i klassen jeg snakker med føler at faget er like vanskelig som meg
.
Jeg har hatt en lang dag på jobb i dag, så har ikke fått sett så mye på oppgaven. Men har tenkt litt som følger:
Given:
[tex]|\frac{x}{1 + nx^2}|[/tex]. Fix an arbitrary number [tex]a[/tex], where [tex]a \neq 0[/tex] Assume [tex]x \to a[/tex], then, according to the Archimedean property, we can always find an integer [tex]n[/tex] such that [tex]nx^2 > a^2[/tex]. Hence, [tex]|\frac{x}{1 + nx^2}| \to 0[/tex] as [tex]n \to \infty[/tex].
Now suppose [tex]x \to 0[/tex]. Then we have [tex]\lim_{x \to 0}|\frac{x}{1 + nx^2}| = \frac{0}{1} = 0[/tex].
Thus, since [tex]a[/tex] was chosen arbitrarily in the first assumption, we have proved that the sequence converges uniformly to [tex]0[/tex]
Merk at dette bare er løse tanker jeg har tenkt i dag - har ikke fått arbeidet så mye med det. Men setter pris på om noen kan bekrefte/avkrefte om jeg er på riktig spor nå.
Først av alt - takk så mye for det motiverende innlegget! Det var kjekt å lese dette etter at jeg følte meg litt frustrert i går kveld! Var også på forelesning i dag, og det er betryggende vite at alle i klassen jeg snakker med føler at faget er like vanskelig som meg
. Jeg har hatt en lang dag på jobb i dag, så har ikke fått sett så mye på oppgaven. Men har tenkt litt som følger:
Given:
[tex]|\frac{x}{1 + nx^2}|[/tex]. Fix an arbitrary number [tex]a[/tex], where [tex]a \neq 0[/tex] Assume [tex]x \to a[/tex], then, according to the Archimedean property, we can always find an integer [tex]n[/tex] such that [tex]nx^2 > a^2[/tex]. Hence, [tex]|\frac{x}{1 + nx^2}| \to 0[/tex] as [tex]n \to \infty[/tex].
Now suppose [tex]x \to 0[/tex]. Then we have [tex]\lim_{x \to 0}|\frac{x}{1 + nx^2}| = \frac{0}{1} = 0[/tex].
Thus, since [tex]a[/tex] was chosen arbitrarily in the first assumption, we have proved that the sequence converges uniformly to [tex]0[/tex]
Merk at dette bare er løse tanker jeg har tenkt i dag - har ikke fått arbeidet så mye med det
. Men setter pris på om noen kan bekrefte/avkrefte om jeg er på riktig spor nå.