forklaring for grense med cos

[gill]

Noen som har bevis eller link til bevis for hvorfor:

[tex]\frac{lim}{h\rightarrow0}\frac{cosh-1}{h}=0[/tex] (I)

http://bildr.no/view/1023068

Jeg synes ikke at (I) er noe lettere å forstå enn

[tex]\frac{lim}{h\rightarrow0}\frac{sinh}{h}=1[/tex]

som er bevist i boka

Beklager litt dårlig notasjon for grensene

[espen180]

Kort svar: Rekkeutvikle de hyperbolsktrigonometriske funksjonene til 1., evt. 2. orden.

Edit: Argh, jeg leste feil!

[Nebuchadnezzar]

^^

Espen leste feil

Kort outline.

1. Gang med den konjugerte.
2. Bruk en trigonometrisk identitet slik at du får [tex]\sin^2(x)[/tex]
3. Del opp
4. Bruk den velkjente grenseverdien med sinus

[gill]

sto i boka og gitt! hehe.

[gill]

mitt rotete bevis for hvorfor den deriverte av cosx er -sinx:

http://www.scribd.com/doc/72294459/Deri ... v-Cosx-PDF

[Nebuchadnezzar]

[tex]L \, = \, \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} \, = \, \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2x}{x(\cos x + 1)} \, = \, \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \frac{sin x }{cos x + 1}[/tex]
[tex]L \, = \, 1 \cdot \frac{0}{2} \, = \, 0[/tex]

[gill]

ok stilig! ryddig:)

[2357]

[tex]L \, = \, \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} \, = \, \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2x}{x(\cos x + 1)} \, = \, \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \frac{sin x }{cos x + 1}[/tex]
[tex]L \, = \, 1 \cdot \frac{0}{2} \, = \, 0[/tex]

Resultatet er riktig, men [tex](\cos x-1)(\cos x+1)=\cos ^2x-1=-\sin ^2x[/tex].