Bevis for at periferivinkel over diameter i sirkel er 90°

malef · 15/11-2011 17:23

Jeg har tegnet en sirkel med sentrum S, diameter med endepunktene A og B, og tre andre punkter, P, Q og R, på sirkelen.

Oppgaven går ut på å formulere en generell regel om periferivinkler som spenner over diameteren i en sirkel, samt å bevise denne regelen.

En periferivinkel som spenner over diameteren i en sirkel, er 90°. Dette er vel et spesialtilfelle av en annen regel som sier at periferivinkelen er halvparten av buen den spenner over.

Hva menes med bevis? Antar at jeg f.eks. ikke kan måle opp lengdene og vise med pytagorassetningen at vinkelen er rett?

15/11-2011 17:49

Det er ikke noe galt i å bruke pytagorassetningen til å bevise påstanden, men her tror jeg ikke det blir så enkelt.

Det du bør gjøre her er å ta utgangspunkt i vinklene og hva du vet om dem. Se på følgende figur (antagelig ganske lik noe du har tegnet.)

Hva kan du si om trekantene ASP og PSB? (De har en spesiell form.) Du kan bruke det du finner ut i lag med at [tex]\angle APB = \angle APS + \angle SPB[/tex]. Se hvor langt du kommer med dette.

malef · 15/11-2011 18:35

[tex]\angle APS[/tex] og [tex]\angle PSB[/tex] er likebeinte trekanter. [tex]\angle APB=\angle APS+\angle SPB[/tex]. [tex]\angle APS=\angle PAS[/tex] og [tex]\angle SPB=\angle SBP[/tex].

Må vel nærme meg noe nå? Men lenger kommer jeg ikke.

15/11-2011 18:44

Akkurat, de er likebeinte.

Det du må gjøre nå er som du prøver på, å få utnyttet at trekantene er likebeinte. Det som i tillegg blir en av nøklene til å få til beviset er å merke seg at det er en sammenheng mellom de to trekantene. Hvis du ser nøye på de to trekantene så er det en viss sammenheng mellom [tex]\angle ASP[/tex] og [tex]\angle PSB[/tex]. Ser du hva denne sammenhengen er? Hvordan kan du uttrykke den?

Kan du bruke det du har funnet om at de er likebeinte til å finne et uttrykk for [tex]\angle APB[/tex] som bare involverer [tex]\angle ASP[/tex], og på samme måte et uttrykk for [tex]\angle SPB[/tex] som bare involverer [tex]\angle PSB[/tex]? I såfall så har du nå fått et uttrykk for [tex]\angle APB[/tex] som i stedet for en sum av de to første vinklene nå er en sum av vinklene [tex]\angle ASP[/tex] og [tex]\angle PSB[/tex], og disse har du ovenfor funnet en sammenheng mellom!

malef · 15/11-2011 21:50

[tex]\angle ASP+\angle PSB=180[/tex], det samme som summen av vinklene i hver av trekantene. De to trekantene til sammen har da 360°. Siden [tex]\angle ASP+\angle PSB=180[/tex], må de to vinkelparene fra de likebeinte trekantene til sammen utgjøre 180°. Summen av én vinkel fra hvert par blir da halvparten av 180°, altså 90°. Holder dette vann?

15/11-2011 21:58

Det stemmer at [tex]\angle ASP + \angle PSB = 180[/tex]. Men jeg er ikke helt med på det du sier etter det. Kan du utdype? (Det kan for all del være det er riktig, men jeg forstår ikke helt hva du mener!

)

Hvis du går tilbake til [tex]\angle APB = \angle APS + \angle SPB[/tex], kan du nå få byttet ut [tex]\angle APS[/tex] med et uttrykk som baserer seg på [tex]\angle ASP[/tex] i stedet, og [tex]\angle SPB[/tex] med et uttrykk som baserer seg på [tex]\angle PSB[/tex]? (Det er her likebeintheten kommer inn.) Da vil du være veldig nærme slutten av beviset!

15/11-2011 22:05

Jeg har tegnet opp det du sier nå, og det stemmer jo det! Flott!

Faktisk så er den måten du har gjort det på enklere enn det jeg har tenkt ovenfor her. Egentlig er det ikke nødvendig å trekke inn vinklene [tex]\angle ASP[/tex] og [tex]\angle PSB[/tex]. Du kan bruke at vinkelsummen i den store trekanten APB må være 180 grader, og dermed det du sier om at summen av to og to like vinkler er 180 grader, som gir at summen av en av hver vinkel må være 90 grader.

malef · 15/11-2011 22:18

Det jeg mente var at \angle PAS+ \angle APS + \angle SPB+ \angle SBP=180. Så mente jeg at en vinkel fra hver av de likebeinte trekantene til sammen ville utgjøre halvparten av dette igjen. Men vet ikke om tanken eller uttrykksmåten er klarere nå

.

Det eneste jeg kommer på å bytte ut \angle APS med, er \angle PAS, siden de er like. Tilsvarende kan jeg bytte i den andre trekanten. Men beviser det noe?

malef · 15/11-2011 22:20

Det jeg mente var at [tex]\angle PAS+ \angle APS + \angle SPB+ \angle SBP=180[/tex]. Så mente jeg at en vinkel fra hver av de likebeinte trekantene til sammen ville utgjøre halvparten av dette igjen. Men vet ikke om tanken eller uttrykksmåten er klarere nå

.

Det eneste jeg kommer på å bytte ut [tex]\angle APS[/tex] med, er [tex]\angle PAS[/tex], siden de er like. Tilsvarende kan jeg bytte i den andre trekanten. Men beviser det noe?

15/11-2011 22:24

Ja, for da har du jo at [tex]2 \angle APS + 2 \angle SPB = 180^\circ[/tex] som betyr at [tex]\angle APS + \angle SPB = 90^\circ[/tex]. Men da er jo beviset ferdig, ikke sant?

malef · 15/11-2011 22:25

Jeg så visst ikke det siste innlegget ditt. Dette er en uvant måte å tenke på for meg, så jeg skal for treningens skyld prøve å skjønne det sporet du prøvde å pense meg inn på. Tusen takk for hjelpen så langt!

malef · 15/11-2011 22:27

Vektormannen skrev:Ja, for da har du jo at [tex]2 \angle APS + 2 \angle SPB = 180^\circ[/tex] som betyr at [tex]\angle APS + \angle SPB = 90^\circ[/tex]. Men da er jo beviset ferdig, ikke sant?

Nå ble det mye kryssposting her. Ja, nå er det vel bevist

Takk igjen!

16/11-2011 00:07

Huff, ble en del posting om hverandre her ja. Men er det klart hvordan beviset går fra start til slutt nå? Som du ser er det ofte flere måter å tenke på. Her er nok det du tenkte det enkleste.

Som du sa i den første posten din så er dette også noe som følger av periferivinkelsetningen som sier at en periferivinkel over en sirkelbue er halvparten så stor som sentralvinkelen over samme bue. Hvis du vil kan du jo nå prøve å bevise periferivinkelsetningen. Det blir kanskje ikke så vanskelig nå som du har kommet litt inn i tankegangen.

Det vil da være et sterkere resultat enn det du har vist her, siden det vil gjelde for alle vinkler, ikke bare når sentralvinkelen er 180 grader.

malef · 16/11-2011 19:44

Da setter jeg opp beviset slik:

[tex]\triangle ASP=180^\circ[/tex]

[tex]\angle ASP+\angle PSB=180^\circ[/tex]

[tex]\angle PAS=\angle APS, \angle SPB=\angle PBS[/tex]

[tex]\angle PAS+ \angle APS+ \angle SPB+ \angle PBS=180^\circ[/tex]

[tex]\angle PAS+ \angle SPB=90^\circ[/tex]

[tex]\angle PAS+ \angle SBP=90^\circ[/tex]

[tex]\angle APS+ \angle SBP=90^\circ[/tex]

[tex]\angle APS+ \angle SPB=90^\circ[/tex]

Ser dette ok ut? Kommer tilbake til periferi-/sentralvinkel når jeg har tygget litt på dem

16/11-2011 20:20

Det ser ikke heeelt ok ut, men du har tenkt helt riktig.

For det første så nevner du ikke det du skal vise. Det du skal vise er jo at [tex]\angle APB[/tex] er 90 grader, så på et eller annet tidspunkt må du nesten referere til denne vinkelen. Du får ellers med deg de viktige delene av beviset, men selve konklusjonen må du huske å få med. Nederste linje er jo i og for seg det du skulle vise, men det skader ikke å skrive til slutt at [tex]\angle APB = 90^\circ[/tex].

En annen ting er at det ikke står noe forklarende tekst i det hele tatt. Det gjør at beviset blir veldig oppstykket og vanskelig å følge. Du må for eksempel forklare hvor du får det fra at [tex]\angle PAS = \angle APS[/tex] og [tex]\angle SPB = \angle PBS[/tex].

Du trenger heller ikke å skrive alle de fire nederste linjene. Det er i grunn irrelevant hva summen av de andre vinklene er, vi er bare ute etter [tex]\angle APS + \angle SPB[/tex] her.

Det ser sikkert ut som jeg syns beviset er helt elendig, men det mener jeg ikke :p. Det er en treningssak å føre slike bevis på en bra måte. Det kan være lurt å tenke på det om at du skal skrive en slags forklaring til noen andre, der denne forklaringen skal være grundig og gå steg for steg fra påstanden som skal vises og frem til konklusjonen. Det er selvfølgelig ikke bare én måte et bevis kan føres på, men du kan jo se hvordan jeg ville ført det:

Vinkelsummen i den store trekanten [tex]\triangle APB[/tex] er [tex]180^\circ[/tex]:

[tex]\angle APB + \angle PAS + \angle PBS = 180^\circ[/tex].

Trekk en linje fra punktet P og ned til S. Dette linjestykket deler opp trekant [tex]\triangle APB[/tex] i to trekanter [tex]\triangle ASP[/tex] og [tex]\triangle BSP[/tex]. Med vinklene i disse trekantene kan vi skrive [tex]\angle APB[/tex] som

[tex]\angle APB = \angle APS + \angle SPB[/tex].

Siden to og to sider er radier i sirkelen, er de to trekantene likebeinte. Da er

[tex]\angle PAS = \angle APS, \ \angle SPB = \angle PBS[/tex].

Da har vi

[tex]\angle APB + \angle PAS + \angle PBS = 180^\circ[/tex]

[tex]\angle APB + \angle APS + \angle SPB = 180^\circ[/tex]

[tex]2\angle APB = 180^\circ \ \Rightarrow \ \angle APB = 90^\circ[/tex].