oppgave med induksjon

[gill]

Lurer på oppgave 19

http://wiki.math.ntnu.no/_media/tma4100 ... amling.pdf

hvordan bruker de identiteten

[tex]sinvcosv=\frac{1}{2}sin2v[/tex] (I)

i steget hvor n=k+1

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4100/2 ... lfov04.pdf


alle cos med økende vinkelfrekvens blir skrevet om hvordan får de skrevet dem om til noe enklere med (I)?

[Vektormannen]

De har antatt at formelen stemmer for n = k, så med andre ord er [tex]\cos u \cos(2u)\cos(4u)\cdots \cos(2^{k-1}u) = \frac{\sin(2^k u)}{2^k \sin u}[/tex]. Bruker man dette på uttrykket [tex]\cos u \cdot \cos(2u) \cdot \cos(4u) \cdots \cos(2^{k-1} u) \cdot \cos(2^k u)[/tex] så kan man altså bytte ut de k første faktorene:

[tex]\frac{\sin(2^k u)}{2^k \sin u} \cdot \cos(2^k u)[/tex].

Den bakerste cosinusfaktoren [tex]\cos(2^k u)[/tex] blir stående igjen når man bytter ut de k første, for det er jo bare produktet av de k første man har antatt at er lik denne formelen. Det er nå de bruker identiteten til å forenkle. Identiteten sier jo at [tex]\sin(2^k u) \cdot \cos(2^k u) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2^k u) = \frac{1}{2} \sin(2^{k+1} u)[/tex]. Altså får man:

[tex]\frac{\sin(2^k u)}{2^k \sin u} \cdot \cos(2^k u) = \frac{\frac{1}{2} \sin(2^{k+1} u)}{2^k \sin u} = \frac{\sin(2^{k+1} u)}{2^{k+1} \sin u}[/tex]

EDIT: fikset en feil!