Uendelige geo-rekker

[Knossos]

Jeg har en rekke:

(2-x) + (2-x)(2x-9) + (2-x)(2x-9)^2 + ...

Her spør de etter konvergensområde og sum.

Jeg finner ut at k=2x-9 og etter litt rekning finner jeg konvergensområde <0,9>. Jeg prøver 2.gradslikning og finner x=0 v x=9

Wolfram Alpha mener at rekka ikke konvergerer.
Boka mi ser ut til å bruke k=(2-x) ??? når de bruker sumformelen til oppgaven.

Hva skjer her?

[Vektormannen]

Kvotienten er som du sier [tex]k(x) = 2x-9[/tex]. Der er det du som har rett.

Konvergensområdet blir da intervallet for x der [tex]|k(x)| < 1 \ \Leftrightarrow \ -1 < 2x-9 < 1[/tex]. Det gir [tex]2x-9 > -1 \ \Leftrightarrow \ 2x > 8 \ \Leftrightarrow \ x > 4[/tex] og [tex]2x - 9 < 1 \ \Leftrightarrow \ 2x < 10 \ \Leftrightarrow \ x < 5[/tex], dvs. [tex]4 < x < 5[/tex] eller evt. [tex]x \in \langle 4,5 \rangle[/tex].

Eventuelt kan du bruke at [tex]|k(x)| < 1 \ \Leftrightarrow \ (k(x))^2 < 1[/tex] og løse den andregradsulikheten vha fortegnsskjema. Det er kanskje det du har gjort? Uansett blir konvergensintervallet [tex]x \in \langle 4, 5 \rangle[/tex].

Hvordan regnet du når du fikk [tex]\langle 0, 9 \rangle[/tex]?

Når det gjelder Wolframalpha så kan det godt være rekken tolkes på en annen måte. Det er ikke sikkert Wolframalpha "ser" at rekken vil konvergere for noen verdier av x.

[Knossos]

Jeg prøvde vel på en 2.gradsulikhet via fortegnsskjema, men der har jeg tydligvis vært på bærtur og plukket minst 2 kg blåbær!..
Skal sies at noe av det aller vanskeligste jeg har vært borti i R2, er fortegnsskjema!! Så simpelt? men akk så masse feil..

Den måten du finner konvergensområdet på er ny for meg, men kanskje enklere enn fortegnsskjema?
Hvis det er en måte som funker når som helst, så virker den bedre.

[Vektormannen]

Hva er det du syns er vanskelig med fortegnsskjema?

Her får du andregradsulikheten [tex]k(x)^2 < 1 \ \Leftrightarrow \ (2x-9)^2 - 1 < 0 \ \Leftrightarrow \ ((2x-9) - 1)((2x-9)+1) < 0 \ \Leftrightarrow \ (2x-10)(2x-8) < 0[/tex]

Deler vi på 4 får vi [tex](x-5)(x-4) < 0[/tex]. Da er resten snakk om å lage et fortegnsskjema for disse to faktorene, og så ser vi når produktet av dem blir negativt. Da får vi intervallet [tex]\langle 4,5 \rangle[/tex]. Hvor var det din metode skilte seg fra denne?

Den metoden jeg brukte tok fatt i at ulikheten [tex]|a| < b[/tex] er ekvivalent med dobbeltulikheten [tex]-b < a < b[/tex]. Et tall a vil jo ha absoluttverdi mindre enn b dersom det ligger mellom -b og b (absoluttverdifunksjonen "fjerner" jo det negative fortegnet). Det vil si at ulikheten [tex]|k(x)| < 1[/tex] er det samme som at [tex]-1 < k(x) < 1[/tex]. Denne dobbeltulikheten betyr det samme som at [tex]-1 < k(x)[/tex] OG [tex]k(x) < 1[/tex]. Hver av disse ulikhetene gir et intervall som x må ligge i for at ulikheten skal være oppfylt. Løsningsintervallet til dobbeltulikheten blir da snittet av de to intervallene -- det største intervallet med punkter som oppfyller begge ulikhetene.

[Knossos]

Synes det er vanskelig å vite hva som skal være med i et fortegnsskjema.

Men nå gjorde jeg stykket om igjen, på den tungvindte måten, og endte nå opp med 4x^2 -36x+80
Faktorisering gir som du sa, 4(x-5)(x-4), eller 2.grads x=4 v x=5
Jeg tror ikke jeg kom så langt sist.
Er nok prinsippet i stykket jeg sliter med, og ikke nødvendigvis selve regninga.

Akkurat nå møter jeg samme problem når jeg skal gå vidre til fortegnsskjema med ((5x^2) / (2x+1)^2) < 0

Dette ut ifra k= ((3x-1)/(2x+1))

Helt klart må jeg bruke noen dager på dette her merker jeg.

[Nebuchadnezzar]

Kanskje dette hjelper deg litt angående fortegnskjema

-----------------------

4.) Hvordan kan jeg tegne fortegnsskjema?

Fortegnsskjema er noe mange har problemer med. Kort sagt er ideen veldig enkel, vi lager et skja for å beskrive hvor en funksjon er positiv og negativ. Dersom en funksjon kan skrives som summen av to andre mindre funksjoner. For eksempel [tex]f(x)=ab[/tex]. Der a og b, er funksjoner. Så er f positiv dersom både a og b er positiv, eller a og b er negativ. Dersom a og b har motsatte fortegn er f negativ. Det samme kan bli sagt om en brøk. For en bedre gjennomgang av dette se lenkene under

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... hp?aid=573

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... .php?t=749

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=29961

[Vektormannen]

Synes det er vanskelig å vite hva som skal være med i et fortegnsskjema.

Men nå gjorde jeg stykket om igjen, på den tungvindte måten, og endte nå opp med 4x^2 -36x+80
Faktorisering gir som du sa, 4(x-5)(x-4), eller 2.grads x=4 v x=5
Jeg tror ikke jeg kom så langt sist.
Er nok prinsippet i stykket jeg sliter med, og ikke nødvendigvis selve regninga.

Akkurat nå møter jeg samme problem når jeg skal gå vidre til fortegnsskjema med ((5x^2) / (2x+1)^2) < 0

Dette ut ifra k= ((3x-1)/(2x+1))

Helt klart må jeg bruke noen dager på dette her merker jeg.

Uttrykket du har kommet frem til i telleren er ikke riktig. Jeg regner med det er gjort en slurvefeil et eller annet sted. Den riktige ulikheten bør bli noe slikt:

[tex]\frac{(3x-1)^2}{(2x+1)^2} - \frac{(2x+1)^2}{(2x+1)^2} < 0[/tex]

[tex]\frac{(3x-1-(2x+1))(3x-1+(2x+1))}{(2x+1)^2} < 0[/tex]

[tex]\frac{(x-2) \cdot 5x}{(2x+1)^2} < 0[/tex]

Nå blir det å gå videre til fortegnsskjema med dette uttrykket. Merk deg at i nevneren har vi noe som er opphøyd i andre. Det kan aldri bli negativt, så faktoren i nevneren vil altså ikke ha noen innvirkning på fortegnet til uttrykket. Du trenger altså ikke å ta den med i fortegnsskjemaet en gang. Da gjenstår de to faktorene (x-2) og x.

[Knossos]

Utrolig!
Jeg har slurvet med noe der i starten ja, muligens ikke klart å opphøye alt jeg skulle gjort. Det virker så oversiktelig når dere forklarer det, og det er så mye enklere når jeg ser hvordan du velger å sette opp stykket.
Tror uoversiktelighet har mye av skylda for feilene.

Men ja, jeg ser hvordan (2x+1)^2 forholder seg positiv og mister sin virkning i skjemaet her.
Fine linker lengre oppe her, tittet igjennom og sier meg enig

Men det er altså det å komme til "skjema-fabrikken" med riktig vare jeg sliter med, hehe.

Takk for oppklaring.

[Vektormannen]

Her er det nok bare trening som gjelder! Når du har regnet ut en del slike ulikheter og satt opp en del fortegnsskjema så begynner nok ting å gå ganske glatt.