Invers substitusjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Post Reply
Levon Helm

Finn [itgl][/itgl] 1/[rot][/rot](1 - 4x[sup]2[/sup]) dx

Det tipses om å sette x = a*sinv, vil det hjelpe meg?
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Posts: 1686
Joined: 03/10-2005 12:09

Ved å bruke substitusjonen x=(sin v)/2 får du at v=sin[sup]-1[/sup](2x), dx/dv=(cos v)/2 og

1 - 4x[sup]2[/sup] = 1 - (2x)[sup]2[/sup] = 1 - sin[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]v.

Herav følger at

[itgl][/itgl] dx/kv.rot(1 - 4x[sup]2[/sup]) = [itgl][/itgl] (cos v)dv / (2cos v) = [itgl][/itgl]dv/2 = (v/2) + C = (sin[sup]-1[/sup](2x) / 2) + C

der C er en vilkårlig konstant.
Levon Helm

Takk takk, forhørte meg litt om oppgaven i dag, vi ble anbefalt å gjøre den slik:

[rot][/rot]a[sup]2[/sup]-x[sup]2[/sup], ved substitusjonen x = a*sinv
v = sin[sup]-1[/sup](x/a)

som da gir, [itgl][/itgl] 1/[rot][/rot](1[sup]2[/sup] - (2x)[sup]2[/sup]) dx = (1/2)sin[sup]-1[/sup](2x) + C

Om det gjør det noe lettere vet jeg ikke, uansett, jeg sliter nå med følgende oppgave:

[itgl][/itgl] x[sup]2[/sup]/[rot][/rot](9 - x[sup]2[/sup]) dx

Kan skrives som: [itgl][/itgl] x[sup]2[/sup]/[rot][/rot](3[sup]2[/sup] - x[sup]2[/sup]) dx, får den da på "substitusjonsformen".
Lengre kommer jeg ikke, hva gjør jeg med x[sup]2[/sup]? Delvis integrasjon eller substitusjon?
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Posts: 1686
Joined: 03/10-2005 12:09

Bruk substitusjonen x=3 sin v. Dette gir dx/dv=3 cos v og 9 - x[sup]2[/sup] = 9(1 - sin[sup]2[/sup]v) = 9cos[sup]2[/sup]v = (3 cos v)[sup]2[/sup]. Dermed blir

[itgl][/itgl]x[sup]2[/sup] dx/kv.rot(9 - x[sup]2[/sup]) = [itgl][/itgl] (3 sin v)[sup]2[/sup] 3 cos v dv/ (3 cos v) = 9 [itgl][/itgl] sin[sup]2[/sup]v dv = (9/2)[itgl][/itgl]1 - cos(2v) dv o.s.v...
Levon Helm

Får da 9 [itgl][/itgl] sin[sup]2[/sup]v dv = 9 * (1/2) *(v -sinv*cosv) +C, hvor v = sin[sup]-1[/sup](x/3).
Hvordan blir det (9/2)sin[sup]-1[/sup](x/3) - (1/2)x*[rot][/rot](9 - x[sup]2[/sup]) + C ?
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Posts: 1686
Joined: 03/10-2005 12:09

Du har kommet fram til at

I = ∫x[sup]2[/sup]dx/kv.rot(9 - x[sup]2[/sup]) = (9/2)v - (9/2)sinv*cosv + C

der x/3=sinv og 3cosv = kv.rot(9 - x[sup]2[/sup]). Altså er v=sin[sup]-1[/sup](x/3) og cosv = kv.rot(9 - x[sup]2[/sup])/3, noe som medfører at

I = (9/2)sin[sup]-1[/sup](x/3) - (9/2)*(x/3)*kv.rot(9 - x[sup]2[/sup])/3 + C = (9/2)sin[sup]-1[/sup](x/3) - (1/2)x*kv.rot(9 - x[sup]2[/sup]) + C.
Levon Helm

Takk skal du ha Solar Plexus, jeg setter pris på de fyldige og presise svarene. Noen må ha det inn med teskje.
Post Reply