Heltallsløsninger

[Gustav]

Finn alle ikkenegative heltallsløsninger av $(m+n-5{)}^2=9mn$

[mstud]

Finn alle ikkenegative heltallsløsninger av $(m+n-5{)}^2=9mn$

$(m+n-5{)}^2=9mn$

$(m+n{)}^2-10(m+n)+25=9mn$

$m^2+2mn+n^2-10m-10n+25=9mn$

$m^2+n^2-10m-10n+25=9mn-2mn$

$m^2+n^2-10m-10n+25=7mn$

$m(m-10)+n(n-10)=7mn-25$

Har ikke hatt om funksjoner av flere variable, så gir opp...

Eneste alternativet for meg ville vært å teste tall

[Nebuchadnezzar]

n=1 og m=1 fungerer, men ja, gav opp jeg og ^^

[Eliasf]

0 og 5

[Karl_Erik]

Vi ser først at om m og n har noen felles faktor må det være fem, og om vi forkorter med den står vi igjen med likningen $(m+n-c{)}^2=9mn$ med $c=1$ eller 5. Videre ser vi her at siden høyresiden nå er produktet av et kvadrattall og to relativt primiske tall, og dette igjen skal bli et kvadrattall, må $m=a^2,n=b^2$. Altså er $a^2+b^2=c\pm 3ab$. Det negative fortegnet impliserer at $a^2+b^2<c$, så vi må kun sjekke tilfellene $a,b<3$, som gir de løsnignene som er blitt nevnt her. Ellers har vi $a^2+b^2-3ab=c$, eller etter litt opprydning $(2a-3b{)}^2-5b^2=4c$. Gjør vi substitusjonen $A=2a-3b$ får vi $A^2-5b^2=4c=4$ eller 20. Dette er da en pellsk likning. Det finnes en løsning i begge tilfellene, så vi har funnet alle løsninger om vi bare kan løse likningen $A^2-5b^2=1$.

Det er kjent at alle løsninger her er potenser av fundamenttalløsningen, som kan vises ved å dra inn Dirichlets enhetsteorem og omformulere likningen til et spørsmål om enheter i ringen av heltall av $\mathbb{Q}$$[\sqrt{5}]$. Fundamentalløsningen ender med å være $(A,b)=(9,4)$, så alle løsningene er på formen $A+\sqrt{5}b=(\pm )(9+4\sqrt{5}{)}^n$. For å få løsninger på likningen vi -egentlig- var interessert i må vi gange med en vilkårlig løsning $(A_1+\sqrt{5}{b}_1)$ av $A_1^2-5b_1^2=4$ eller 20. Den første har løsningen (2,0), og den andre har løsningen (5,1), så likningen vår har løsningene $(A+\sqrt{5}b)=2(9+4\sqrt{5}{)}^n$ eller $(5+\sqrt{5})(9+5\sqrt{5}{)}^n$. Vi kan så finne $a$, som vi opprinnelig var interessert i, ved å ta $a=\frac{A+3b}{2}$. Dette vil alltid være ikkenegativt ettersom $A$ og $b$ er det, og heltall siden det kun kan ikke være det dersom $A$ og $b$ har motsatt paritet, og da vil $A^2-5b^2$ være et oddetall, og følgelig ikke lik 4 eller 20.

Dette ble litt drøyt, men selv om noen ting gikk fort tror jeg dette skal stemme. Noen løsninger er, i følge Python, (m,n)=:

(tilfellet c=1)
(0, 5)
(5, 45)
(45, 320)
(320, 2205)
(2205, 15125)
(15125, 103680)
(103680, 710645)
(710645, 4870845)
(4870845, 33385280)
(33385280, 228826125)

(tilfellet c=5)
(1, 16)
(16, 121)
(121, 841)
(841, 5776)
(5776, 39601)
(39601, 271441)
(271441, 1860496)
(1860496, 12752041)
(12752041, 87403801)