Volum vha skallmetoden

[Nova]

Use the shell method to find the volumes of the solids generated by revolving the shaded region about the indicated axis.

Har ikke noe bilde av grafen, men skal prøve å forklare.
Objektet er mellom linjen y = sqrt(2) og x = y^2
Objektet roteres rundt x-aksen.
X går fra 0 til 2.

Hvis noen tilfeldigvis skulle ha "Calculus 1" (tma4100 matematikk 1) står oppgaven på side 406. Det er oppg. 6.2.3. Er sikkert lettere hvis man ser figuren.

Har prøvd i over en time på denne oppgaven nå, men uansett hvordan jeg gjør det blir svaret feil..

Skallmetoden sier jo at
V = [symbol:integral] 2 [symbol:pi] (skallradius)(skallhøyde)dx

Det er nok skallradius og skallhøyden jeg ikke får riktig, men nå har jeg prøvd med det meste... Hvordan tenker man "logisk" på dette?

Jeg tenker at det er logisk at høyden er x-verdiene: x.
Og at radiusen da blir sqrt(2) - y^2 = sqrt(2) - x

Da får man..

V = [symbol:integral] 2 [symbol:pi] (x)(sqrt(2) - x) dx
V = 2 [symbol:pi][symbol:integral](x)(sqrt(2) - x) dx

Lit lat nå, men dette blir vel ikke 2[symbol:pi]..

H-j-e-l-p!

[Janhaa]

trur det blir

[tex]V=2\pi \int_0^2 x(\sqrt2\,-\,\sqrt x)\,dx[/tex]

[Nova]

Mulig jeg integrerer feil altså, men da får jeg V = 3,55
Fasit sier 2[symbol:pi] :S

[Janhaa]

Mulig jeg integrerer feil altså, men da får jeg V = 3,55
Fasit sier 2[symbol:pi] :S

skivemtoden:

[tex]V_x=\pi\int_0^2 y^2\,dx=\pi\int_0^2(2-x)\,dx=2\pi[/tex]
===============

sylinderskallmetoden:

[tex]V_x=2\pi\int_0^{\sqrt2} xy\,dy=2\pi \int_0^{\sqrt2}(2-y^2)y\,dy=2\pi[/tex]

[Vektormannen]

Ser du at alt du har med å gjøre involverer y? Det betyr at du godt kan bruke sylinderskallmetoden, og så bytter du ut x med y og f(x) med f(y). Her er [tex]f(y) = y^2[/tex]. Da får du:

[tex]V = 2\pi \int_0^{\sqrt 2} y \cdot y^2 dy[/tex]

Hvis du syns det er forvirrende at y har blitt integrasjonsvariabelen så kan du tenke på dette som at vi i stedet for å rotere [tex]x = y^2[/tex] fra [tex]y = 0[/tex] til [tex]y = \sqrt 2[/tex] om x-aksen, heller roterer kurven [tex]x = y^2[/tex] fra [tex]x = 0[/tex] til [tex]x = \sqrt 2[/tex] om y-aksen. Det må jo bli det samme, ikke sant? Da får vi integralet

[tex]V = 2\pi \int_0^{\sqrt 2} x \cdot x^2 dx[/tex],

(som selvfølgelig er akkurat det samme integralet som ovenfor!)

EDIT: Ser du postet rett før meg nå Janhaa. Er du sikker på at integralene du har satt opp er ritkig? Området som skal dreies rundt er jo det som er avgrenset av y = 0 og [tex]y = \sqrt 2[/tex] slik jeg har forstått det?