Limit comparison- og comparisontest

[laks34]

Står fast på to oppgaver om sammenligningstesten(e):

1. (1+cos(n))/n^2

2. (n+1)/((n^2)* [symbol:rot] n)

Hvilken av testene må jeg bruke?
Hva må jeg sammenligne med?

[Vektormannen]

1. Hva vet du om cosinusfunksjonen?

2. Jeg antar du mener [tex]a_n = \frac{n+1}{n^2 \cdot \sqrt n}[/tex]. I såfall så ligner jo dette veldig på [tex]\frac{n}{n^2 \cdot \sqrt n} = \frac{1}{n \sqrt n}[/tex] som jeg antar du kan konkludere noe om. Har du noen idé om hvordan du kan sammenligne med denne rekken?

[laks34]

1. Vet at cosinusfunsjonen er periodisk ( Toppunkter i 1, bunnpunkter i -1, periode = 2[symbol:pi] ) Kan noe av dette hjelpe meg?

2. Bruke comparison test? a_n = (n+1)/((n^2)*[symbol:rot] n) , d_n = 1/(n*[symbol:rot] n). Rekken må divergere fordi a_n > d_n for alle n>N (Et eller annet tall N).
Blir dette riktig?

[Vektormannen]

1. Ja, det som kan hjelpe deg er at cosinus alltid er mellom -1 og 1. Kan du se en rekke å sammenligne med da?

2. Nei, divergerer rekken med ledd [tex]d_n[/tex] som du sammenligner med da? Husk på at [tex]n\sqrt n = n^{3/2}[/tex].

[laks34]

1. Ser det ikke akkurat nå hvordan jeg skal løse den.. Må vel se etter en rekke som ligger over denne hele veien?

2. blir det ikke riktig om jeg bruker på \frac{n}{n^2 \cdot \sqrt n} som d_n heller ?

Ser mer på det i morraaaa....

[Vektormannen]

Dette blir fort vanskelig dersom du ikke har en viss idé om rekken konvergerer eller ikke. Det du må huske på om såkalte p-rekker er at [tex]\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p}[/tex] konvergerer for p > 1. Så når du ser en rekke med en potens av n i nevneren som er høyere enn 1 så er det god grunn til å mistenke at rekken konvergerer.

1. Det du vet er at [tex]\cos n \leq 1[/tex], så [tex]1+\cos n \leq 2[/tex]. Ser du hvordan dette hjelper deg da?

2. Jo, det er jo det som er gjort, har bare forkortet n mot [tex]n^2[/tex] i nevneren. Som forklart øverst så vil rekken med ledd [tex]d_n = \frac{n}{n^2 \sqrt n}[/tex] konvergere siden [tex]\frac{n}{n^2\sqrt n} = \frac{1}{n^{3/2}}[/tex] og 3/2 > 1. Du kan nesten sammenligne med denne. Hint: For n > 1 så vil [tex]n+1 < 2n[/tex].

[laks34]

1. Så ved å sammenligne med 2/n^2 så kan jeg vise at rekken konvergerer?

2. Kan jeg bruke 2n/((n^2)* [symbol:rot] n) = 2/(n^3/2) til sammenligning da ? og det vil vise at rekken konvergerer fordi denne rekka er en p-rekke med p > 1 og a_n <= d_n for alle n>N?


Blir dette riktig?

[Vektormannen]

Ja, det var dette jeg hadde i tankene i alle fall. Bra!

[laks34]

TAKKER!